(1) 複素数 $\frac{2}{1-i}$ を極形式で表す。 (2) 複素数 $(-1+\sqrt{3}i)^8$ を極形式で表す。 (3) $\sqrt[3]{8}$ の値をすべて求め、複素平面上に図示する。 (4) $\sqrt[3]{1-i}$ の値をすべて求め、複素平面上に図示する。 (5) $\sqrt[4]{\sqrt{2}+\sqrt{6}i}$ の値をすべて求め、複素平面上に図示する。 (6) $\frac{1}{\sqrt{2}+i+i^2}$ の値をすべて求め、複素平面上に図示する。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 複素数 $\frac{2}{1-i}$ を極形式で表す。

(2) 複素数 $(-1+\sqrt{3}i)^8$ を極形式で表す。

(3) $\sqrt[3]{8}$ の値をすべて求め、複素平面上に図示する。

(4) $\sqrt[3]{1-i}$ の値をすべて求め、複素平面上に図示する。

(5) $\sqrt[4]{\sqrt{2}+\sqrt{6}i}$ の値をすべて求め、複素平面上に図示する。

(6) $\frac{1}{\sqrt{2}+i+i^2}$ の値をすべて求め、複素平面上に図示する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{2}{1-i}$ を変形します。

$\frac{2}{1-i} = \frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2(1+i)}{1 - i^2} = \frac{2(1+i)}{1 - (-1)} = \frac{2(1+i)}{2} = 1+i$

$1+i$ の絶対値 $r$ は $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

偏角 $\theta$ は $\theta = \arctan{\frac{1}{1}} = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}$

よって、$1+i = \sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}})$

(2)

まず、$-1 + \sqrt{3}i$ の絶対値 $r$ は $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta$ は $\theta = \arctan{\frac{\sqrt{3}}{-1}} = \frac{2\pi}{3}$

よって、$-1 + \sqrt{3}i = 2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}})$

したがって、$(-1+\sqrt{3}i)^8 = [2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}})]^8 = 2^8(\cos{\frac{16\pi}{3}} + i\sin{\frac{16\pi}{3}})$

$= 256(\cos{(\frac{16\pi}{3} - 4\pi)} + i\sin{(\frac{16\pi}{3} - 4\pi)}) = 256(\cos{\frac{4\pi}{3}} + i\sin{\frac{4\pi}{3}})$

$= 256(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 - 128\sqrt{3}i$

極形式は $256(\cos{\frac{4\pi}{3}} + i\sin{\frac{4\pi}{3}})$

(3)

$z = \sqrt[3]{8}$ を求める。

$8 = 8(\cos{0} + i\sin{0})$

$z_k = \sqrt[3]{8}(\cos{\frac{0 + 2\pi k}{3}} + i\sin{\frac{0 + 2\pi k}{3}})$ for $k=0, 1, 2$.

$z_0 = 2(\cos{0} + i\sin{0}) = 2$

$z_1 = 2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}}) = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + \sqrt{3}i$

$z_2 = 2(\cos{\frac{4\pi}{3}} + i\sin{\frac{4\pi}{3}}) = 2(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - \sqrt{3}i$

(4)

$z = \sqrt[3]{1-i}$ を求める。

$1-i = \sqrt{2}(\cos{(-\frac{\pi}{4})} + i\sin{(-\frac{\pi}{4})})$

$z_k = \sqrt[6]{2}(\cos{\frac{-\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3}} + i\sin{\frac{-\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3}})$ for $k=0, 1, 2$

$z_0 = \sqrt[6]{2}(\cos{-\frac{\pi}{12}} + i\sin{-\frac{\pi}{12}})$

$z_1 = \sqrt[6]{2}(\cos{\frac{7\pi}{12}} + i\sin{\frac{7\pi}{12}})$

$z_2 = \sqrt[6]{2}(\cos{\frac{15\pi}{12}} + i\sin{\frac{15\pi}{12}}) = \sqrt[6]{2}(\cos{\frac{5\pi}{4}} + i\sin{\frac{5\pi}{4}})$

(5)

$z = \sqrt[4]{\sqrt{2} + \sqrt{6}i}$ を求める。

$\sqrt{2}+\sqrt{6}i$ の絶対値は $r = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

偏角 $\theta = \arctan{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}} = \arctan{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3}$

$\sqrt{2}+\sqrt{6}i = 2\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})$

$z_k = (2\sqrt{2})^{\frac{1}{4}}(\cos{\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{4}} + i\sin{\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{4}})$ for $k = 0, 1, 2, 3$

$z_0 = \sqrt[4]{2\sqrt{2}}(\cos{\frac{\pi}{12}} + i\sin{\frac{\pi}{12}})$

$z_1 = \sqrt[4]{2\sqrt{2}}(\cos{\frac{7\pi}{12}} + i\sin{\frac{7\pi}{12}})$

$z_2 = \sqrt[4]{2\sqrt{2}}(\cos{\frac{13\pi}{12}} + i\sin{\frac{13\pi}{12}})$

$z_3 = \sqrt[4]{2\sqrt{2}}(\cos{\frac{19\pi}{12}} + i\sin{\frac{19\pi}{12}})$

(6)

$\frac{1}{\sqrt{2}+i+i^2} = \frac{1}{\sqrt{2}+i-1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1+i} = \frac{\sqrt{2}-1-i}{(\sqrt{2}-1)^2 + 1} = \frac{\sqrt{2}-1-i}{2-2\sqrt{2}+1+1} = \frac{\sqrt{2}-1-i}{4-2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}-1-i)(4+2\sqrt{2})}{(4-2\sqrt{2})(4+2\sqrt{2})} = \frac{4\sqrt{2}+4-4i+4+2\sqrt{2}-2i}{16 - 8} = \frac{6\sqrt{2}+8-6i}{8} = \frac{3\sqrt{2}+4}{4} - \frac{3}{4}i$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}})$

(2) $256(\cos{\frac{4\pi}{3}} + i\sin{\frac{4\pi}{3}})$

(3) $2, -1+\sqrt{3}i, -1-\sqrt{3}i$

(4) $\sqrt[6]{2}(\cos{-\frac{\pi}{12}} + i\sin{-\frac{\pi}{12}}), \sqrt[6]{2}(\cos{\frac{7\pi}{12}} + i\sin{\frac{7\pi}{12}}), \sqrt[6]{2}(\cos{\frac{5\pi}{4}} + i\sin{\frac{5\pi}{4}})$

(5) $\sqrt[4]{2\sqrt{2}}(\cos{\frac{\pi}{12}} + i\sin{\frac{\pi}{12}}), \sqrt[4]{2\sqrt{2}}(\cos{\frac{7\pi}{12}} + i\sin{\frac{7\pi}{12}}), \sqrt[4]{2\sqrt{2}}(\cos{\frac{13\pi}{12}} + i\sin{\frac{13\pi}{12}}), \sqrt[4]{2\sqrt{2}}(\cos{\frac{19\pi}{12}} + i\sin{\frac{19\pi}{12}})$

(6) $\frac{3\sqrt{2}+4}{4} - \frac{3}{4}i$