(1) 関数 $y = \frac{1}{x}$、直線 $x=1$、$x=e$、および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めます。 (2) 関数 $y = \sqrt{x}$、直線 $x=1$、$x=4$、および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{1}{x}$、直線 $x=1$、$x=e$、および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めます。

(2) 関数 $y = \sqrt{x}$、直線 $x=1$、$x=4$、および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 面積$S$は定積分で計算できます。

$S = \int_1^e \frac{1}{x} dx$

$\frac{1}{x}$の原始関数は$\ln|x|$なので、

$S = [\ln|x|]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$

(2) 面積$S$は定積分で計算できます。

$S = \int_1^4 \sqrt{x} dx = \int_1^4 x^{\frac{1}{2}} dx$

$x^{\frac{1}{2}}$の原始関数は$\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$なので、

$S = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_1^4 = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{2}{3}(7) = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 面積$S$は1です。

(2) 面積$S$は$\frac{14}{3}$です。