実数 $x$ が $|x-2| < 1$ を満たすとき、式 $|2x| + 2|x-4|$ を簡略化する。

1. 問題の内容

実数 $x$ が $|x-2| < 1$ を満たすとき、式 $|2x| + 2|x-4|$ を簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、$|x-2| < 1$ という条件から、$x$ の範囲を求める。

$|x-2| < 1$ は $-1 < x-2 < 1$ と同値である。

この不等式を解くと、$1 < x < 3$ が得られる。

次に、$|2x|$ と $|x-4|$ の絶対値を外すことを考える。

$1 < x < 3$ の範囲では、$2x > 0$ であるから、$|2x| = 2x$ となる。

また、$1 < x < 3$ の範囲では、$x-4 < 0$ であるから、$|x-4| = -(x-4) = 4-x$ となる。

したがって、$|2x| + 2|x-4| = 2x + 2(4-x)$ となる。

これを計算すると、

$2x + 2(4-x) = 2x + 8 - 2x = 8$ となる。

3. 最終的な答え

8