2つの曲線 $y=x^3$ と $y=\sqrt{x}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y=x^3$ と $y=\sqrt{x}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y=x^3$ と $y=\sqrt{x}$ の交点を求めます。

$x^3 = \sqrt{x}$

$x^6 = x$

$x^6 - x = 0$

$x(x^5 - 1) = 0$

したがって、$x = 0, 1$ です。

区間 $[0, 1]$ において $\sqrt{x} \geq x^3$ なので、面積 $S$ は次の積分で計算できます。

$S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^3) dx$

$S = \int_0^1 (x^{1/2} - x^3) dx$

$S = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{4}x^4]_0^1$

$S = (\frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{4}(1)^4) - (\frac{2}{3}(0)^{3/2} - \frac{1}{4}(0)^4)$

$S = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{5}{12}$