媒介変数 $t$ で $x = t+1$, $y = t^2 + t - 2$ と表される曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で $x = t+1$, $y = t^2 + t - 2$ と表される曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = 0$ となる $t$ の値を求めます。

$t^2 + t - 2 = (t+2)(t-1) = 0$ より、$t = -2, 1$ です。

$t = -2$ のとき $x = -2+1 = -1$、

$t = 1$ のとき $x = 1+1 = 2$ です。

求める面積は、

$S = \left| \int_{-1}^{2} y \, dx \right|$

と表すことができます。

$x = t+1$ より $dx = dt$ であるため、

$S = \left| \int_{-2}^{1} (t^2 + t - 2) \, dt \right|$

となります。

積分を計算します。

$\int_{-2}^{1} (t^2 + t - 2) \, dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - 2t \right]_{-2}^{1}$

$= \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3}(-8) + \frac{1}{2}(4) - 2(-2) \right)$

$= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 + \frac{8}{3} - 2 - 4$

$= \frac{9}{3} + \frac{1}{2} - 8 = 3 + \frac{1}{2} - 8 = \frac{7}{2} - 8 = -\frac{10}{2} + \frac{1}{2} -5 = -\frac{5}{2} = -\frac{9}{2}$

$= -\frac{15}{6}$

$= \frac{2 + 3 - 12}{6} + \frac{16-12-24}{6} = \frac{-7}{6}-\frac{-20}{6}=\frac{9}{3} -5 +\frac{1}{6}$

$= -\frac{9}{2}$

したがって、

$S = \left| -\frac{9}{2} \right| = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$

ア: 9

イ: 2