$\left( \frac{x}{2} - \frac{1}{x} \right)^{10}$ の展開における $x^2$ の係数を求める問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$\left( \frac{x}{2} - \frac{1}{x} \right)^{10}$ の展開における $x^2$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。

二項定理は、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

で与えられます。

今回の問題では、$a = \frac{x}{2}$, $b = -\frac{1}{x}$, $n = 10$ なので、

$\left( \frac{x}{2} - \frac{1}{x} \right)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} \left( \frac{x}{2} \right)^{10-k} \left( -\frac{1}{x} \right)^k$

$= \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{10-k} x^{10-k} (-1)^k x^{-k}$

$= \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{10-k} (-1)^k x^{10-2k}$

$x^2$ の係数を求めたいので、$10-2k = 2$ となる $k$ を探します。

$10-2k = 2$

$2k = 8$

$k = 4$

したがって、$x^2$ の項は、$k=4$ のときです。

$x^2$ の係数は、

$\binom{10}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^{10-4} (-1)^4 = \binom{10}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^{6} (1)$

$\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

$\left( \frac{1}{2} \right)^6 = \frac{1}{64}$

よって、$x^2$ の係数は、

$210 \times \frac{1}{64} = \frac{210}{64} = \frac{105}{32}$

3. 最終的な答え

$\frac{105}{32}$