$y = \cos x$ ($ \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$) , $x$軸, $x = \frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる回転体の体積$V$を求め、$\frac{\pi^2}{ア} - \frac{\pi}{イ}$ の形で答えよ。

1. 問題の内容

$y = \cos x$ ($\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$) , $x$軸, $x = \frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる回転体の体積$V$を求め、$\frac{\pi^2}{ア} - \frac{\pi}{イ}$ の形で答えよ。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$ で求められる。

今回の問題では、

$a = \frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{2}$, $y = \cos x$ なので、

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$

ここで、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ なので、

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx$

$V = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx$

$V = \frac{\pi}{2} [x + \frac{1}{2} \sin 2x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$

$V = \frac{\pi}{2} [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi) - (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2})]$

$V = \frac{\pi}{2} [(\frac{\pi}{2} + 0) - (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2})]$

$V = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}]$

$V = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{4} - \frac{2}{4}]$

$V = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$

したがって、$ア = 8$, $イ = 4$ となる。

3. 最終的な答え

ア = 8 / イ = 4