(1) $y=e^x$ ($0 \le x \le 2$), $x$軸, $y$軸, $x=2$で囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めます。 (2) $y=x^3$, $y=\sqrt{x}$ で囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めます。

1. 問題の内容

(1) $y=e^x$ ($0 \le x \le 2$), $x$軸, $y$軸, $x=2$で囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めます。

(2) $y=x^3$, $y=\sqrt{x}$ で囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 回転体の体積は、積分を用いて求めることができます。

$V = \pi \int_0^2 (e^x)^2 dx = \pi \int_0^2 e^{2x} dx$

$e^{2x}$の積分は$\frac{1}{2}e^{2x}$なので、

$V = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} \right) = \pi \left( \frac{1}{2} e^4 - \frac{1}{2} e^0 \right) = \pi \left( \frac{1}{2} e^4 - \frac{1}{2} \right)$

$V = \frac{\pi}{2} (e^4 - 1)$

(2)

まず、$y=x^3$と$y=\sqrt{x}$の交点を求めます。

$x^3 = \sqrt{x}$

$x^6 = x$

$x^6 - x = 0$

$x(x^5 - 1) = 0$

$x=0, x=1$

$y=\sqrt{x}$が$y=x^3$よりも大きいので、回転体の体積は

$V = \pi \int_0^1 (\sqrt{x})^2 - (x^3)^2 dx = \pi \int_0^1 x - x^6 dx$

$V = \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{7}x^7 \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{7} \right) = \pi \left( \frac{7 - 2}{14} \right) = \frac{5}{14} \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2} (e^4 - 1)$

(2) $\frac{5}{14} \pi$