(1) 曲線 $y = e^{-x}$ ($0 \le x \le 2$), x軸, y軸, 直線 $x=2$ で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めます。 (2) 曲線 $y=x^3$ と $y=\sqrt{x}$ で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めます。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = e^{-x}$ ($0 \le x \le 2$), x軸, y軸, 直線 $x=2$ で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めます。

(2) 曲線 $y=x^3$ と $y=\sqrt{x}$ で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 回転体の体積は、積分を用いて求めることができます。体積$V$は

$V = \pi \int_{0}^{2} (e^{-x})^2 dx = \pi \int_{0}^{2} e^{-2x} dx$

となります。

積分を実行すると、

$\int_{0}^{2} e^{-2x} dx = \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x} \right]_{0}^{2} = -\frac{1}{2} e^{-4} - \left( -\frac{1}{2} e^{0} \right) = -\frac{1}{2} e^{-4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-4} \right)$

となります。したがって、回転体の体積は、

$V = \pi \cdot \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-4} \right) = \frac{\pi}{2} \left( 1 - \frac{1}{e^4} \right)$

(2) $y=x^3$と$y=\sqrt{x}$の交点を求めます。$x^3=\sqrt{x}$ を解くと、$x^6=x$ となり、$x(x^5-1)=0$ より $x=0, 1$ となります。よって、交点は $(0,0)$, $(1,1)$です。

回転体の体積は、積分を用いて求めることができます。

$V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx - \pi \int_{0}^{1} (x^3)^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x dx - \pi \int_{0}^{1} x^6 dx$

$\int_{0}^{1} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{1} x^6 dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{7}$

$V = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{7} \right) = \pi \left( \frac{7-2}{14} \right) = \frac{5}{14} \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2} (1 - \frac{1}{e^4})$

(2) $\frac{5}{14} \pi$