関数 $f(x) = (\frac{2}{3}x)^{\frac{3}{2}}$ の $0 \le x \le \frac{9}{2}$ の範囲における曲線長 $L$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (\frac{2}{3}x)^{\frac{3}{2}}$ の $0 \le x \le \frac{9}{2}$ の範囲における曲線長 $L$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線長を求める公式は次の通りです。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$

ここで、$a$ は積分範囲の下限、$b$ は上限です。今回は、$a = 0$、$b = \frac{9}{2}$ です。

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f(x) = (\frac{2}{3}x)^{\frac{3}{2}}$

$f'(x) = \frac{3}{2} (\frac{2}{3}x)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{3} = (\frac{2}{3}x)^{\frac{1}{2}}$

次に、$1 + (f'(x))^2$ を計算します。

$1 + (f'(x))^2 = 1 + (\sqrt{\frac{2}{3}x})^2 = 1 + \frac{2}{3}x$

曲線長の公式に代入して積分します。

$L = \int_0^{\frac{9}{2}} \sqrt{1 + \frac{2}{3}x} dx$

置換積分を行います。$u = 1 + \frac{2}{3}x$ とすると、$du = \frac{2}{3} dx$、したがって $dx = \frac{3}{2} du$。

$x = 0$ のとき、$u = 1$

$x = \frac{9}{2}$ のとき、$u = 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = 1 + 3 = 4$

よって積分は、

$L = \int_1^4 \sqrt{u} \cdot \frac{3}{2} du = \frac{3}{2} \int_1^4 u^{\frac{1}{2}} du = \frac{3}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_1^4 = \left[ u^{\frac{3}{2}} \right]_1^4 = 4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$

3. 最終的な答え

$L = 7$