(4) 中心が点$(-2, 1)$で、$y$軸に接する円の方程式を求める。 (5) 2点$(0, 1)$, $(2, 3)$を直径の両端とする円の方程式を求める。 (1) $x^2 + y^2 - 6x - 4y - 12 = 0$がどのような図形を表すかを答える。

1. 問題の内容

(4) 中心が点$(-2, 1)$で、$y$軸に接する円の方程式を求める。

(5) 2点$(0, 1)$, $(2, 3)$を直径の両端とする円の方程式を求める。

(1) $x^2 + y^2 - 6x - 4y - 12 = 0$がどのような図形を表すかを答える。

2. 解き方の手順

(4)

中心が$(-2, 1)$なので、円の方程式は$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = r^2$と表せる。$y$軸に接するので、中心から$y$軸までの距離が半径$r$に等しい。中心の$x$座標の絶対値が$r$に等しいから、$r = |-2| = 2$。したがって、円の方程式は$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2 = 4$。

(5)

2点$(0, 1)$, $(2, 3)$を直径の両端とする円の中心は、この2点の中点である。中点の座標は$\left(\frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = (1, 2)$。

円の半径は、中心$(1, 2)$と端点$(0, 1)$との距離である。

$r = \sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$。

したがって、円の方程式は$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$。

(1)

与えられた方程式を変形して、円の方程式の標準形にする。

$x^2 + y^2 - 6x - 4y - 12 = 0$

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) = 12$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = 12 + 9 + 4$

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25 = 5^2$

これは中心$(3, 2)$、半径$5$の円を表す。

3. 最終的な答え

(4)

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$

(5)

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2$

(1)

中心$(3, 2)$、半径$5$の円