(1) 数直線上を速度 $v = \cos{t}$ で運動する点Pが、時刻 $t=0$ から $t=\pi$ までに移動する道のり $L$ を求める。 (2) 曲線 $x = 2\cos{t}$, $y = 2\sin{t}$ ($0 \le t \le 4\pi$) の長さを求める。

1. 問題の内容

(1) 数直線上を速度 $v = \cos{t}$ で運動する点Pが、時刻 $t=0$ から $t=\pi$ までに移動する道のり $L$ を求める。

(2) 曲線 $x = 2\cos{t}$, $y = 2\sin{t}$ ($0 \le t \le 4\pi$) の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 道のりは速度の絶対値を積分することで求められる。

$L = \int_{0}^{\pi} |\cos{t}| dt$

区間 $[0, \pi]$ で $\cos{t}$ の符号が変わる点を探す。$\cos{t} = 0$ となるのは $t = \frac{\pi}{2}$ のときである。

$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ では $\cos{t} \ge 0$, $\frac{\pi}{2} \le t \le \pi$ では $\cos{t} \le 0$ である。

したがって、

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{t} dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos{t}) dt$

$= [\sin{t}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + [-\sin{t}]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$

$= (\sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0}) + (-\sin{\pi} + \sin{\frac{\pi}{2}})$

$= (1 - 0) + (-0 + 1) = 1 + 1 = 2$

(2) 曲線の長さは

$L = \int_{0}^{4\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$x = 2\cos{t}$ より $\frac{dx}{dt} = -2\sin{t}$

$y = 2\sin{t}$ より $\frac{dy}{dt} = 2\cos{t}$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (-2\sin{t})^2 + (2\cos{t})^2 = 4\sin^2{t} + 4\cos^2{t} = 4(\sin^2{t} + \cos^2{t}) = 4$

$L = \int_{0}^{4\pi} \sqrt{4} dt = \int_{0}^{4\pi} 2 dt = [2t]_{0}^{4\pi} = 2(4\pi) - 2(0) = 8\pi$

3. 最終的な答え

(1) $L=2$

(2) $L=8\pi$