(4) $x = \frac{8}{13}$, $y = -\frac{4}{13}$ のとき、$3x^2 - 12y^2$ の値を求める。 (5) $x = \frac{20}{17}$, $y = \frac{14}{17}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求める。 (6) $x = 2 + 3\pi$, $y = 6 - \pi$ のとき、$x^2 + 6xy + 9y^2$ の値を求める。 (7) 1辺の長さが $a$ cm の正方形Aがある。この正方形の一方の辺を 10 cm 長く、もう一方の辺を 10 cm 短くした長方形Bをつくる。AとBの面積はどちらがどれだけ大きいか調べる。

1. 問題の内容

(4) $x = \frac{8}{13}$, $y = -\frac{4}{13}$ のとき、$3x^2 - 12y^2$ の値を求める。

(5) $x = \frac{20}{17}$, $y = \frac{14}{17}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求める。

(6) $x = 2 + 3\pi$, $y = 6 - \pi$ のとき、$x^2 + 6xy + 9y^2$ の値を求める。

(7) 1辺の長さが $a$ cm の正方形Aがある。この正方形の一方の辺を 10 cm 長く、もう一方の辺を 10 cm 短くした長方形Bをつくる。AとBの面積はどちらがどれだけ大きいか調べる。

2. 解き方の手順

(4)

与えられた $x$ と $y$ の値を式に代入する。

$3x^2 - 12y^2 = 3(\frac{8}{13})^2 - 12(-\frac{4}{13})^2$

$= 3(\frac{64}{169}) - 12(\frac{16}{169})$

$= \frac{192}{169} - \frac{192}{169} = 0$

(5)

与えられた $x$ と $y$ の値を式に代入する。

$x^2 - y^2 = (\frac{20}{17})^2 - (\frac{14}{17})^2$

$= \frac{400}{289} - \frac{196}{289}$

$= \frac{204}{289}$

$= \frac{12 \times 17}{17 \times 17}$

$= \frac{12}{17}$

(6)

$x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2$ と変形できる。

与えられた $x$ と $y$ の値を代入する。

$(2 + 3\pi + 3(6 - \pi))^2 = (2 + 3\pi + 18 - 3\pi)^2$

$= (20)^2 = 400$

(7)

正方形Aの面積は $a^2$。

長方形Bの面積は $(a+10)(a-10) = a^2 - 100$。

$a^2 - (a^2 - 100) = 100$

したがって、正方形Aの面積の方が、長方形Bの面積より $100 \text{ cm}^2$ 大きい。

3. 最終的な答え

(4) 0

(5) $\frac{12}{17}$

(6) 400

(7) 正方形Aの面積の方が、長方形Bの面積より $100 \text{ cm}^2$ 大きい。