与えられた3次式を因数分解し、空欄に適切な数値を小さい順に入れる問題です。 (1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ (2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$

1. 問題の内容

与えられた3次式を因数分解し、空欄に適切な数値を小さい順に入れる問題です。

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

(2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ の因数分解

まず、与えられた式に$x=1$を代入すると、

$1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$

となるので、$x-1$を因数に持つことがわかります。

次に、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ を $x-1$ で割ると、

$x^2 - 5x + 6$ となります。

したがって、

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$

さらに、$x^2 - 5x + 6$ を因数分解すると、

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

したがって、

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

(2) $x^3 + 10x^2 + 31x + 30$ の因数分解

まず、与えられた式に$x=-2$を代入すると、

$(-2)^3 + 10(-2)^2 + 31(-2) + 30 = -8 + 40 - 62 + 30 = 0$

となるので、$x+2$を因数に持つことがわかります。

次に、$x^3 + 10x^2 + 31x + 30$ を $x+2$ で割ると、

$x^2 + 8x + 15$ となります。

したがって、

$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x+2)(x^2 + 8x + 15)$

さらに、$x^2 + 8x + 15$ を因数分解すると、

$x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$

したがって、

$x^3 + 10x^2 + 31x + 30 = (x+2)(x+3)(x+5)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x-2)(x-3)$

(2) $(x+2)(x+3)(x+5)$