長方形ABCDを、頂点Bが対角線BD上に来るように折った図が与えられている。点Bが移る点をE、折り目の線をFGとする。点Aが移る点をH、ADとEHの交点をIとする。AB=3cm, AD=6cm, IG⊥BCであるとき、線分IFの長さを求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDを、頂点Bが対角線BD上に来るように折った図が与えられている。点Bが移る点をE、折り目の線をFGとする。点Aが移る点をH、ADとEHの交点をIとする。AB=3cm, AD=6cm, IG⊥BCであるとき、線分IFの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、折り返しの性質から、△ABF ≡ △HBFとなるので、AF = HF.

また、∠ABF = ∠HBF.

長方形ABCDなので、AD // BC より、∠ADB = ∠DBC。

ここで、∠EBD = ∠FBCである。

さらに、△ABDにおいて、tan∠ADB = AB/AD = 3/6 = 1/2。

∠ABD = 90°なので、tan∠ABD = AD/AB = 6/3 = 2。

∠EBD = ∠DBCより、∠ADB = ∠FBC。

また、IG⊥BCより、∠IGC=90°であるため、∠IGD=90°である。

△ABDと△BCDは合同である。

BDの長さを求めると、BD = $\sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$。

折り返しの性質から、BE = AB = 3cm。

したがって、DE = BD - BE = $3\sqrt{5} - 3$ cm

また、△HFIにおいて、∠HFI = 90 - ∠FIH

IG ⊥ BCより、∠DIG = 90°。

したがって、△DIGにおいて、∠GDI = 90- ∠DIG

△ABF ∽ △DIGである。

AD//BCより、∠ADB=∠DBCであり、IG⊥BCより∠IGD=90°となる。

△BDEにおいて、BE = AB = 3, BD = $3\sqrt{5}$なので, DE = $3\sqrt{5}-3$となる。

また、∠EBD = ∠FBC

四角形FBGIを考えると、∠FBG+∠BGI+∠GIB+∠IFB=360°。

∠BGI=∠IFB=90°であるため、∠FBG+∠GIB=180°。

点IからBCへ垂線を下ろし、その交点をJとする。

このとき、IJ = AB = 3cm となる。

また、△IGHにおいて、∠GIH = 90°。

HF = AFとする。

AI = xとおくと、DI=6-x。

FI = HI.

∠FIH = 90°であり、AF = HFより、△AFHは直角二等辺三角形である。

∠FAH = 45°。

△AFIにおいて、FI = AF/tan45° = AF.

また、△HFIは直角二等辺三角形である。

△AFIにおいて、AI = $\sqrt{2}$AF = xとおける。

x= $\sqrt{2}$ AF

△ABFにおいて、AF = $\sqrt{AB^2+BF^2}$ = $\sqrt{9+BF^2}$。

△FIHは直角二等辺三角形なので、FI=HI。

AF = x とする。

AF = HFなので, △AFHは二等辺三角形。

また, ∠AFB = ∠HFB = 90°なので, △AFHは直角二等辺三角形になる。

よって、AH = $\sqrt{2}$x

AI = AD - DI = 6 - DI

DIを求める。

△BDEで、BE = AB = 3

BD = $\sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

DE = BD - BE = $3\sqrt{5}-3$.

IF=yとする。

△AFIは直角二等辺三角形なので、AF=FI=y.

AI = $\sqrt{2}$y.

DI = 6 - $\sqrt{2}$y

△DIEで、DI = $\sqrt{2}y$, DE = $3(\sqrt{5}-1)$。

EI=zとする。

DI = HIだから

IH = y = $\sqrt{y^2 + z^2}$。

最終的にはAF=3/2√2。

IF = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm