$n$ を正の整数とするとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ が7の倍数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$n$ を正の整数とするとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ が7の倍数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n=1$ のとき

$2^{1+1} + 3^{2(1)-1} = 2^2 + 3^1 = 4 + 3 = 7$

よって、$n=1$ のとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ は7の倍数となります。

(2) $n=k$ のとき、$2^{k+1} + 3^{2k-1}$ が7の倍数であると仮定します。

つまり、$2^{k+1} + 3^{2k-1} = 7m$ ($m$ は整数) と表せると仮定します。

(3) $n=k+1$ のとき、$2^{(k+1)+1} + 3^{2(k+1)-1}$ が7の倍数であることを示します。

$2^{(k+1)+1} + 3^{2(k+1)-1} = 2^{k+2} + 3^{2k+1}$

$= 2 \cdot 2^{k+1} + 9 \cdot 3^{2k-1}$

$= 2 \cdot 2^{k+1} + 2 \cdot 3^{2k-1} + 7 \cdot 3^{2k-1}$

$= 2 (2^{k+1} + 3^{2k-1}) + 7 \cdot 3^{2k-1}$

仮定より、$2^{k+1} + 3^{2k-1} = 7m$ なので、

$= 2(7m) + 7 \cdot 3^{2k-1}$

$= 7(2m + 3^{2k-1})$

$2m + 3^{2k-1}$ は整数なので、$2^{(k+1)+1} + 3^{2(k+1)-1}$ は7の倍数となります。

(1)(2)(3)より、数学的帰納法によって、$n$ が正の整数のとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ は7の倍数であることが証明されました。

3. 最終的な答え

$n$ が正の整数のとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ は7の倍数である。