2つの直線 $y = -x + 6$ (①) と $y = 2x$ (②) があります。直線①と②の交点をA、直線①とx軸の交点をBとします。線分AB上に点Pをとり、Pを通りy軸に平行な直線と直線②, x軸との交点をそれぞれQ, Rとします。 (1) A, Bの座標をそれぞれ求めなさい。 (2) Rのx座標が3のとき、三角形APQの面積を求めなさい。 (3) 三角形APQの面積が $\frac{27}{2}$ のとき、Rのx座標を求めなさい。 (4) 三角形APQの面積が15のとき、Rのx座標を求めなさい。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = -x + 6$ (①) と $y = 2x$ (②) があります。直線①と②の交点をA、直線①とx軸の交点をBとします。線分AB上に点Pをとり、Pを通りy軸に平行な直線と直線②, x軸との交点をそれぞれQ, Rとします。

(1) A, Bの座標をそれぞれ求めなさい。

(2) Rのx座標が3のとき、三角形APQの面積を求めなさい。

(3) 三角形APQの面積が $\frac{27}{2}$ のとき、Rのx座標を求めなさい。

(4) 三角形APQの面積が15のとき、Rのx座標を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) Aの座標は、直線①と②の交点なので、連立方程式を解きます。

$-x + 6 = 2x$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 2x = 2(2) = 4$

したがって、Aの座標は (2, 4) です。

Bの座標は、直線①とx軸の交点なので、y = 0を代入します。

$0 = -x + 6$

$x = 6$

したがって、Bの座標は (6, 0) です。

(2) Rのx座標が3のとき、Rの座標は (3, 0) です。Pは線分AB上にあるので、直線ABの式を求めます。直線ABは $y = -x + 6$ です。

Pのx座標は3なので、Pのy座標は $y = -3 + 6 = 3$ となります。Pの座標は (3, 3) です。

Qのx座標は3なので、Qのy座標は $y = 2x = 2(3) = 6$ となります。Qの座標は (3, 6) です。

Aの座標は (2, 4) です。

三角形APQの面積は、底辺PQを $6 - 3 = 3$ とすると、高さはPとAのx座標の差なので $3 - 2 = 1$ となります。

三角形APQの面積は、$\frac{1}{2} \times 3 \times 1 = \frac{3}{2}$ です。

(3) Rのx座標をrとします。Rの座標は (r, 0) です。Pのx座標はrなので、Pのy座標は $y = -r + 6$ となります。Pの座標は (r, -r + 6) です。

Qのx座標はrなので、Qのy座標は $y = 2r$ となります。Qの座標は (r, 2r) です。

三角形APQの面積は、底辺PQを $2r - (-r + 6) = 3r - 6$ とすると、高さはPとAのx座標の差なので $r - 2$ となります。

三角形APQの面積は、$\frac{1}{2} \times (3r - 6) \times (r - 2) = \frac{27}{2}$ です。

$(3r - 6)(r - 2) = 27$

$3r^2 - 6r - 6r + 12 = 27$

$3r^2 - 12r - 15 = 0$

$r^2 - 4r - 5 = 0$

$(r - 5)(r + 1) = 0$

$r = 5, -1$

rは線分AB上の点なので、$0 < r < 6$ である必要があります。よって、r = 5です。

(4) Rのx座標をrとします。Rの座標は (r, 0) です。Pのx座標はrなので、Pのy座標は $y = -r + 6$ となります。Pの座標は (r, -r + 6) です。

Qのx座標はrなので、Qのy座標は $y = 2r$ となります。Qの座標は (r, 2r) です。

三角形APQの面積は、底辺PQを $2r - (-r + 6) = 3r - 6$ とすると、高さはPとAのx座標の差なので $r - 2$ となります。

三角形APQの面積は、$\frac{1}{2} \times (3r - 6) \times (r - 2) = 15$ です。

$(3r - 6)(r - 2) = 30$

$3r^2 - 6r - 6r + 12 = 30$

$3r^2 - 12r - 18 = 0$

$r^2 - 4r - 6 = 0$

$r = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

$r = 2 + \sqrt{10}, 2 - \sqrt{10}$

$2 + \sqrt{10} \approx 2 + 3.16 = 5.16$

$2 - \sqrt{10} \approx 2 - 3.16 = -1.16$

rは線分AB上の点なので、$0 < r < 6$ である必要があります。よって、$r = 2 + \sqrt{10}$ です。

3. 最終的な答え

(1) A(2, 4), B(6, 0)

(2) $\frac{3}{2}$

(3) 5

(4) $2 + \sqrt{10}$