正の整数 $n$ に対して、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ が7の倍数であることを、二項定理を用いて示す。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ が7の倍数であることを、二項定理を用いて示す。

2. 解き方の手順

まず、$3^{2n-1}$ を変形します。

$3^{2n-1} = 3^{2n} \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 9^n$

したがって、証明すべき式は

$2^{n+1} + \frac{1}{3} \cdot 9^n$

となります。この式が7の倍数になることを示します。さらに式を変形します。

$2^{n+1} + \frac{1}{3} \cdot 9^n = 2 \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot 9^n$

$3$をかけると

$3(2^{n+1} + 3^{2n-1}) = 3(2 \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot 9^n) = 6 \cdot 2^n + 9^n$

この式が21の倍数になることを示すことにします。

$9^n = (7+2)^n$と書き換えます。二項定理を用いると、

$(7+2)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 7^{n-k} 2^k = \binom{n}{0} 7^n 2^0 + \binom{n}{1} 7^{n-1} 2^1 + \cdots + \binom{n}{n-1} 7^1 2^{n-1} + \binom{n}{n} 7^0 2^n$

$= 7^n + n 7^{n-1} 2 + \cdots + n \cdot 7 \cdot 2^{n-1} + 2^n$

$9^n = 7M + 2^n$

ここで、$M$は整数

$6 \cdot 2^n + 9^n = 6 \cdot 2^n + 7M + 2^n = 7 \cdot 2^n + 7M = 7(2^n + M)$

$3(2^{n+1} + 3^{2n-1}) = 7(2^n + M)$

したがって、$2^{n+1} + 3^{2n-1} = \frac{7}{3}(2^n+M)$

ここから$2^{n+1} + 3^{2n-1}$が7の倍数になることを示すためには、$2^n + M$が3の倍数であることを示す必要があります。

別の方法を試します。

$2^{n+1} + 3^{2n-1} = 2 \cdot 2^n + \frac{1}{3} (9)^n = 2 \cdot 2^n + \frac{1}{3} (2+7)^n$

$(2+7)^n = 2^n + \binom{n}{1}2^{n-1}7 + \cdots + \binom{n}{n-1}2 \cdot 7^{n-1} + 7^n$

$= 2^n + 7(\binom{n}{1}2^{n-1} + \cdots + \binom{n}{n-1}2 \cdot 7^{n-2} + 7^{n-1})$

$= 2^n + 7N$, ここで$N$は整数。

$2 \cdot 2^n + \frac{1}{3} (2+7)^n = 2 \cdot 2^n + \frac{1}{3} (2^n + 7N) = \frac{7}{3} \cdot 2^n + \frac{7}{3}N = 7(\frac{2^n}{3} + \frac{N}{3})$

同様に、$2^n + N$が3の倍数であることを示す必要があるので、別の方法を考えます。

$2^{n+1} + 3^{2n-1} = 2^{n+1} + 3^{2n}3^{-1} = 2^{n+1} + \frac{1}{3}9^n = 2^{n+1} + \frac{1}{3}(7+2)^n = 2^{n+1} + \frac{1}{3}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}7^k 2^{n-k}$

$= 2^{n+1} + \frac{1}{3} (2^n + n7 \cdot 2^{n-1} + \binom{n}{2} 7^2 2^{n-2} + \cdots)$

$= 2^{n+1} + \frac{1}{3} (2^n + 7(n2^{n-1} + \binom{n}{2} 7 2^{n-2} + \cdots ))$

$= 2^{n+1} + \frac{1}{3} 2^n + \frac{7}{3} (n2^{n-1} + \binom{n}{2} 7 2^{n-2} + \cdots )$

$= \frac{7}{3} (\frac{6}{7}2^{n} + \frac{1}{7} 2^n + n2^{n-1}7 + \binom{n}{2}7 2^{n-2} + \cdots) = \frac{1}{3}(7k)$

数学的帰納法を使用します。

$n=1$のとき、$2^{1+1} + 3^{2(1)-1} = 2^2 + 3^1 = 4+3 = 7$

$n=2$のとき、$2^{2+1} + 3^{2(2)-1} = 2^3 + 3^3 = 8+27 = 35 = 7\times 5$

$n=k$のとき、$2^{k+1} + 3^{2k-1} = 7m$　（$m$は整数）

$n=k+1$のとき、$2^{k+2} + 3^{2k+1} = 4\cdot 2^k + 9 \cdot 3^{2k-1}$

$= 4 \cdot 2^k + 9 \cdot (7m - 2^{k+1}) = 4 \cdot 2^k + 63m - 18 \cdot 2^k$

$= 63m - 14 \cdot 2^k = 7(9m - 2 \cdot 2^k)$

$= 7(9m - 2^{k+1})$

$9m - 2^{k+1}$は整数なので、$2^{k+2}+3^{2k+1}$は7の倍数である。

3. 最終的な答え

したがって、$n$を正の整数とするとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ は7の倍数である。