点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)を頂点とする$\triangle ABC$について、等式 $$ \gamma = \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\alpha + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\beta $$ が成り立つとき、以下のものを求める。 (1) 複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値 (2) $\triangle ABC$の3つの角の大きさ

1. 問題の内容

点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)を頂点とする$\triangle ABC$について、等式

$$\gamma = \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\alpha + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\beta$$

が成り立つとき、以下のものを求める。

(1) 複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値

(2) $\triangle ABC$の3つの角の大きさ

2. 解き方の手順

(1)

与えられた等式から $\gamma$ を $\alpha$ と $\beta$ で表す式が得られているので、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を計算する。

まず、与えられた式を整理する。

$$\gamma = \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\alpha + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\beta$$

次に、$\gamma - \alpha$ を計算する。

$$\gamma - \alpha = \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\alpha + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\beta - \alpha$$

$$\gamma - \alpha = \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - 1\right)\alpha + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\beta$$

$$\gamma - \alpha = \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\alpha + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\beta$$

$$\gamma - \alpha = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\beta - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\alpha$$

$$\gamma - \alpha = \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(\beta - \alpha)$$

したがって、

$$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

(2)

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ より、$\arg\left(\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}\right)$ を求めると、$\angle BAC$ が得られる。

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = e^{i\frac{\pi}{3}}$

よって、$\arg\left(\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}\right) = \frac{\pi}{3}$

$\angle BAC = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

また、$|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}| = 1$ であるから、$|\gamma - \alpha| = |\beta - \alpha|$

これは、$AC = AB$ であることを意味する。よって、$\triangle ABC$ は二等辺三角形である。

したがって、$\angle ABC = \angle ACB = \frac{1}{2}(180^\circ - 60^\circ) = \frac{1}{2}(120^\circ) = 60^\circ$

$\triangle ABC$の3つの角は全て $60^\circ$ であるから、$\triangle ABC$ は正三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(2) $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle ABC = 60^\circ$, $\angle ACB = 60^\circ$