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正八角形の頂点を結んでできる三角形について、以下の個数を求めます。 (1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数 (2) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数

幾何学多角形正八角形三角形組み合わせ
2025/6/24

1. 問題の内容

正八角形の頂点を結んでできる三角形について、以下の個数を求めます。
(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数
(2) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数
正八角形において、連続する3つの頂点を選べば、2辺を共有する三角形ができます。正八角形の頂点は8つあるので、2辺を共有する三角形は8個あります。
(2) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数
正八角形の1つの辺を選びます。その辺と1辺だけを共有する三角形を作るには、その辺の両隣の頂点以外の頂点を1つ選ぶ必要があります。
正八角形の頂点は8個あり、選んだ辺の両端の2個と、その両隣の2個の頂点を除いた、残りの 8−4=48 - 4 = 4 個の頂点から1つを選べば、1辺だけを共有する三角形ができます。
正八角形の辺は8本あるので、1辺だけを共有する三角形は 8×4=328 \times 4 = 32 個あると考えられます。
しかし、重複して数えているものがないか確認が必要です。実際に図を描いて確認すると、1辺だけを共有する三角形は、正八角形の各辺に対して4つずつ存在し、重複はありません。

3. 最終的な答え

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数：8個
(2) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数：32個

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