$n$を正の整数とするとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ が7の倍数であることを、二項定理を用いて示す。

1. 問題の内容

$n$を正の整数とするとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ が7の倍数であることを、二項定理を用いて示す。

2. 解き方の手順

まず、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ を式変形します。

$2^{n+1} + 3^{2n-1} = 2^{n+1} + 3^{2n} \cdot 3^{-1} = 2^{n+1} + \frac{1}{3} (3^2)^n = 2^{n+1} + \frac{1}{3} 9^n$

ここで、$9^n$を$(7+2)^n$と見て、二項定理を適用します。

$(7+2)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k 7^{n-k} 2^k = {}_n C_0 7^n + {}_n C_1 7^{n-1} 2^1 + \dots + {}_n C_{n-1} 7^1 2^{n-1} + {}_n C_n 2^n$

$(7+2)^n = 7 ({}_n C_0 7^{n-1} + {}_n C_1 7^{n-2} 2^1 + \dots + {}_n C_{n-1} 2^{n-1}) + 2^n$

ここで、$7 ({}_n C_0 7^{n-1} + {}_n C_1 7^{n-2} 2^1 + \dots + {}_n C_{n-1} 2^{n-1}) = 7K$とします。 ($K$は整数)

したがって、$(7+2)^n = 7K + 2^n$ となります。

元の式に戻ると、$2^{n+1} + \frac{1}{3} (7K + 2^n) = 2^{n+1} + \frac{7K}{3} + \frac{2^n}{3}$

$= 2 \cdot 2^n + \frac{7K}{3} + \frac{2^n}{3} = \frac{6 \cdot 2^n}{3} + \frac{7K}{3} + \frac{2^n}{3} = \frac{7 \cdot 2^n}{3} + \frac{7K}{3} = \frac{7(2^n + K)}{3}$

ここで計算間違いがあったか、問題文の意図と異なる二項定理の使い方をしている可能性があります。

$2^{n+1} + 3^{2n-1} = 2^{n+1} + \frac{1}{3} (9^n)$

$9^n = (2+7)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^{n-k}7^k = 2^n + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} 2^{n-k}7^k = 2^n + 7\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} 2^{n-k}7^{k-1}$

$9^n = 2^n + 7L$（Lは整数）

$2^{n+1} + 3^{2n-1} = 2^{n+1} + \frac{1}{3}(2^n + 7L) = 2\cdot 2^n + \frac{1}{3}2^n + \frac{7}{3}L = \frac{7}{3}2^n + \frac{7}{3}L = \frac{7}{3}(2^n + L)$

この形では7の倍数であることを示すことはできません。

別の方法で考えます。

$2^{n+1} + 3^{2n-1} = 2^{n+1} + \frac{9^n}{3} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2^n + 9^n}{3} = \frac{6 \cdot 2^n + 9^n}{3}$

$n=1$のとき、$2^{1+1}+3^{2\cdot 1 - 1}= 2^2+3^1 = 4+3 = 7$

$n=2$のとき、$2^{2+1}+3^{2\cdot 2 - 1}= 2^3+3^3 = 8+27 = 35 = 7 \cdot 5$

$n=3$のとき、$2^{3+1}+3^{2\cdot 3 - 1}= 2^4+3^5 = 16+243 = 259 = 7 \cdot 37$

数学的帰納法で証明します。

1. $n=1$のとき、$2^{1+1}+3^{2\cdot 1 - 1}= 7$なので、7の倍数である。

2. $n=k$のとき、$2^{k+1}+3^{2k-1}$が7の倍数であると仮定する。つまり、$2^{k+1}+3^{2k-1} = 7m$（mは整数）

3. $n=k+1$のとき、$2^{(k+1)+1}+3^{2(k+1)-1} = 2^{k+2}+3^{2k+1} = 2 \cdot 2^{k+1} + 9 \cdot 3^{2k-1} = 2 \cdot 2^{k+1} + 9 \cdot 3^{2k-1}$

ここで、$2^{k+1} = 7m - 3^{2k-1}$より

$2(7m - 3^{2k-1}) + 9 \cdot 3^{2k-1} = 14m - 2 \cdot 3^{2k-1} + 9 \cdot 3^{2k-1} = 14m + 7 \cdot 3^{2k-1} = 7(2m + 3^{2k-1})$

これは7の倍数である。

したがって、$n=k+1$のときも7の倍数である。

数学的帰納法により、$2^{n+1}+3^{2n-1}$は7の倍数である。

3. 最終的な答え

$n$を正の整数とするとき、$2^{n+1}+3^{2n-1}$ は7の倍数である。