$n$ を正の整数とするとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ が7の倍数であることを示す。解答には二項定理を使う。

1. 問題の内容

$n$ を正の整数とするとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ が7の倍数であることを示す。解答には二項定理を使う。

2. 解き方の手順

まず、$2^{n+1}$ を二項定理を使って展開する。しかし、画像にあるように$2^{n+1}=(9-7)^{n+1}$と変形するのは適切ではない。なぜなら、7の倍数であることを示したいので、7の倍数である項をくくりだすのが目的だからである。

$2^{n+1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1}$と変形する。

$3^{2n-1} = 3^{2(n-1)+1} = 3 \cdot (3^2)^{n-1} = 3 \cdot 9^{n-1}$と変形する。

したがって、$2^{n+1} + 3^{2n-1} = 4 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 9^{n-1}$となる。

ここで、$9 = 2+7$と変形することで、

$2^{n+1} + 3^{2n-1} = 4 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot (2+7)^{n-1}$

$= 4 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1}C_k 2^k 7^{n-1-k}$

$= 4 \cdot 2^{n-1} + 3(2^{n-1} + {}_{n-1}C_1 2^{n-2}7^1 + {}_{n-1}C_2 2^{n-3}7^2 + \cdots + {}_{n-1}C_{n-1} 7^{n-1})$

$= 4 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 7 \cdot ({}_{n-1}C_1 2^{n-2} + {}_{n-1}C_2 2^{n-3}7^1 + \cdots + {}_{n-1}C_{n-1} 7^{n-2})$

$= 7 \cdot 2^{n-1} + 7 \cdot 3 \cdot ({}_{n-1}C_1 2^{n-2} + {}_{n-1}C_2 2^{n-3}7^1 + \cdots + {}_{n-1}C_{n-1} 7^{n-2})$

$= 7[2^{n-1} + 3 ({}_{n-1}C_1 2^{n-2} + {}_{n-1}C_2 2^{n-3}7^1 + \cdots + {}_{n-1}C_{n-1} 7^{n-2})]$

したがって、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$は7の倍数である。

3. 最終的な答え

$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ は 7 の倍数である。