$a = \frac{5\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + 2$、 $b = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - 1$ が与えられているとき、 $(a+b-1)^2$、 $a(b-1)$、 $a^2 + (b-1)^2$ を計算し、$P = a^2 + (b+1)(b-3) - ka(b-1)$ が有理数となる $k$ の値を求め、その時の $P$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a = \frac{5\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + 2$、 $b = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - 1$ が与えられているとき、

$(a+b-1)^2$、 $a(b-1)$、 $a^2 + (b-1)^2$ を計算し、$P = a^2 + (b+1)(b-3) - ka(b-1)$ が有理数となる $k$ の値を求め、その時の $P$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(a+b-1)^2$ を計算します。

$a+b-1 = (\frac{5\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + 2) + (\frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - 1) - 1 = 5\sqrt{2}$

$(a+b-1)^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$

よって、アイ = 50

(2) $a(b-1)$ を計算します。

$b-1 = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - 2$

$a(b-1) = (\frac{5\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} + 2)(\frac{5\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - 2) = (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 - (\sqrt{3} - 2)^2 = \frac{25 \times 2}{4} - (3 - 4\sqrt{3} + 4) = \frac{25}{2} - 7 + 4\sqrt{3} = \frac{25 - 14}{2} + 4\sqrt{3} = \frac{11}{2} + 4\sqrt{3}$

よって、ウエ = 11、オ = 2、カ = 4、キ = 3

(3) $a^2 + (b-1)^2$ を計算します。

$a^2 + (b-1)^2 = (a+b-1)^2 - 2a(b-1) = 50 - 2(\frac{11}{2} + 4\sqrt{3}) = 50 - 11 - 8\sqrt{3} = 39 - 8\sqrt{3}$

よって、クケ = 39、コ = 8、サ = 3

(4) $P = a^2 + (b+1)(b-3) - ka(b-1)$ が有理数となる $k$ の値を求めます。

$P = a^2 + b^2 - 2b - 3 - ka(b-1)$

$a^2 + (b-1)^2 = 39 - 8\sqrt{3}$より、$a^2 + b^2 - 2b + 1 = 39 - 8\sqrt{3}$

$a^2 + b^2 - 2b = 38 - 8\sqrt{3}$

$P = 38 - 8\sqrt{3} - 3 - ka(b-1) = 35 - 8\sqrt{3} - k(\frac{11}{2} + 4\sqrt{3}) = 35 - \frac{11k}{2} - (8 + 4k)\sqrt{3}$

$P$ が有理数となるためには、$(8+4k)\sqrt{3} = 0$ でなければならない。

$8 + 4k = 0$ より $k = -2$

よって、シス = -2

(5) $k = -2$ のときの $P$ の値を求めます。

$P = 35 - \frac{11(-2)}{2} = 35 + 11 = 46$

よって、セソ = 46

3. 最終的な答え

アイ = 50

ウエ = 11, オ = 2, カ = 4, キ = 3

クケ = 39, コ = 8, サ = 3

シス = -2

セソ = 46