座標平面上に2つの直線 $\ell_1: 3x+2y-39=0$ と $\ell_2: x-y-5k+12=0$ がある。 (1) 直線 $\ell_1$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を求め、さらに直線 $\ell_2$ が $k$ の値に関係なく通る点の座標を求める。また、その点が直線 $\ell_1$ 上にあることを確認する。 (2) 2直線 $\ell_1$, $\ell_2$ および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができないような $k$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2つの直線 $\ell_1: 3x+2y-39=0$ と $\ell_2: x-y-5k+12=0$ がある。

(1) 直線 $\ell_1$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を求め、さらに直線 $\ell_2$ が $k$ の値に関係なく通る点の座標を求める。また、その点が直線 $\ell_1$ 上にあることを確認する。

(2) 2直線 $\ell_1$, $\ell_2$ および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができないような $k$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $\ell_1$ と $x$ 軸の交点は $y=0$ を代入して求める。

$3x + 2(0) - 39 = 0$

$3x = 39$

$x = 13$

したがって、$\ell_1$ と $x$ 軸の交点は $(13, 0)$ である。

直線 $\ell_2: x-y-5k+12=0$ を $k$ について整理する。

$x-y+12 - 5k = 0$

$-5k = -(x-y+12)$

$k = \frac{1}{5}(x-y+12)$

$x-y+12 = 0$ のとき、$k$ の値に関係なくこの式は成立する。

$y = x + 12$

直線 $\ell_2$ が $k$ の値に関係なく通る点は、$k$ の係数を0にする条件から見つけることができる。

$x-y-5k+12=0$ を $k$ で整理すると、

$(x-y+12)-5k=0$

$k$ の値に関係なくこの式が成立するためには、

$x-y+12 = 0$ が必要になる。

この式を満たす点を求めるために、もう一つの条件が必要となる。$k$ の恒等式という考え方を使う。

$x-y+12 - 5k = 0$

$k = 0$ のとき、$x - y + 12 = 0$

$k = 1$ のとき、$x - y + 12 - 5 = 0$

$x - y + 7 = 0$

2つの式を連立して解く。

$x - y + 12 = 0$

$x - y + 7 = 0$

上の式から下の式を引くと、

$5 = 0$ となり矛盾する。

$x - y - 5k + 12 = 0$ を $k$ について整理すると、

$x - y + 12 = 5k$

直線 $\ell_2$ が $k$ の値に関係なく通る点を求めるために、$k$ を含まない形で表したい。

$x-y+12 = 0$ から $y=x+12$ が得られる。

したがって、$\ell_2$ が通る点は $(a, a+12)$ の形式で表せる。

$\ell_1$ がこの点を通るためには、

$3x+2y-39=0$ に $y=x+12$ を代入して、

$3x+2(x+12)-39=0$

$3x+2x+24-39=0$

$5x-15=0$

$5x=15$

$x=3$

よって、$y=3+12=15$

したがって、$\ell_2$ が $k$ の値に関係なく通る点は $(3, 15)$ である。

(2)

2直線 $\ell_1$, $\ell_2$ および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができないのは、以下のいずれかの場合である。

(a) $\ell_1$ と $\ell_2$ が平行な場合

(b) $\ell_2$ が $x$ 軸と平行な場合

(c) $\ell_1$ と $\ell_2$ の交点が $x$ 軸上にある場合

(a) $\ell_1$ と $\ell_2$ が平行な場合

$\ell_1: 3x+2y-39=0$ より、$2y = -3x+39$, $y = -\frac{3}{2}x+\frac{39}{2}$

$\ell_2: x-y-5k+12=0$ より、$y = x-5k+12$

2つの直線が平行なとき、傾きが等しいので、

$-\frac{3}{2} = 1$

これは成り立たない。$\ell_1$と$\ell_2$は傾きが異なるため平行にはならない。

(b) $\ell_2$ が $x$ 軸と平行な場合

$y = x - 5k + 12$ において、$x$ の係数が0である必要があるが、係数は1なので、$x$軸と平行になることはない。

(c) $\ell_1$ と $\ell_2$ の交点が $x$ 軸上にある場合

$\ell_1$ と $\ell_2$ の交点が $x$ 軸上にあるので、$y=0$ である。

$\ell_1$ 上の $y=0$ の点は $(13, 0)$ である。

$\ell_2$ が $(13, 0)$ を通るとき、

$13 - 0 - 5k + 12 = 0$

$25 - 5k = 0$

$5k = 25$

$k = 5$

$\ell_1$ と $\ell_2$ が一致する場合も三角形ができない。しかし、$\ell_1$ と $\ell_2$ の傾きが異なるので、$\ell_1$ と $\ell_2$ が一致することはない。

したがって、$k = 5$ のとき、2直線 $\ell_1$, $\ell_2$ および $x$ 軸によって囲まれた三角形ができない。

3. 最終的な答え

(1) アイ：13, ウ：3, エオ：15

(2) カ：5, キク：5, ケ：5