媒介変数$\theta$を用いて表された楕円$C$: $$ x = \sqrt{5} \cos\theta, \quad y = 2\sin\theta - 1 $$ について、以下の問いに答えます。 (1) 楕円$C$を$x, y$の式で表します。 (2) 点$A(0,3)$から楕円$C$に引いた2本の接線の方程式を求めます。 (3) $p>1$となる点$B(0,p)$から楕円$C$に引いた2本の接線が直交するとき、$p$の値を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数$\theta$を用いて表された楕円$C$:

$$x = \sqrt{5} \cos\theta, \quad y = 2\sin\theta - 1$$

について、以下の問いに答えます。

(1) 楕円$C$を$x, y$の式で表します。

(2) 点$A(0,3)$から楕円$C$に引いた2本の接線の方程式を求めます。

(3) $p>1$となる点$B(0,p)$から楕円$C$に引いた2本の接線が直交するとき、$p$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 楕円$C$を$x,y$の式で表します。

$x = \sqrt{5} \cos\theta$ より、 $\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{5}}$ です。

$y = 2\sin\theta - 1$ より、 $\sin\theta = \frac{y+1}{2}$ です。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入すると、

$$\left(\frac{y+1}{2}\right)^2 + \left(\frac{x}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1$$

$$\frac{(y+1)^2}{4} + \frac{x^2}{5} = 1$$

これが楕円$C$の方程式です。

(2) 点$A(0,3)$から楕円$C$に引いた2本の接線の方程式を求めます。

楕円$C$の方程式は $\frac{x^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$ です。

点$A(0,3)$を通る直線を $y = mx + 3$ とします。

これを楕円の方程式に代入すると、

$$\frac{x^2}{5} + \frac{(mx+3+1)^2}{4} = 1$$

$$\frac{x^2}{5} + \frac{(mx+4)^2}{4} = 1$$

$$4x^2 + 5(m^2x^2 + 8mx + 16) = 20$$

$$4x^2 + 5m^2x^2 + 40mx + 80 = 20$$

$$(5m^2 + 4)x^2 + 40mx + 60 = 0$$

この2次方程式が重解を持つとき、接線となります。

判別式 $D = (40m)^2 - 4(5m^2+4)(60) = 0$

$$1600m^2 - 240(5m^2+4) = 0$$

$$1600m^2 - 1200m^2 - 960 = 0$$

$$400m^2 = 960$$

$$m^2 = \frac{960}{400} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$$

$$m = \pm \sqrt{\frac{12}{5}} = \pm 2\sqrt{\frac{3}{5}} = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}$$

よって、接線の方程式は $y = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}x + 3$ です。

(3) $p>1$となる点$B(0,p)$から楕円$C$に引いた2本の接線が直交するとき、$p$の値を求めます。

点$B(0,p)$を通る直線を $y = mx + p$ とします。

これを楕円の方程式に代入すると、

$$\frac{x^2}{5} + \frac{(mx+p+1)^2}{4} = 1$$

$$4x^2 + 5(mx+p+1)^2 = 20$$

$$4x^2 + 5(m^2x^2 + 2m(p+1)x + (p+1)^2) = 20$$

$$(5m^2 + 4)x^2 + 10m(p+1)x + 5(p+1)^2 - 20 = 0$$

判別式 $D/4 = (5m(p+1))^2 - (5m^2+4)(5(p+1)^2 - 20) = 0$

$$25m^2(p+1)^2 - (25m^2(p+1)^2 - 100m^2 + 20(p+1)^2 - 80) = 0$$

$$100m^2 - 20(p+1)^2 + 80 = 0$$

$$5m^2 - (p+1)^2 + 4 = 0$$

$$5m^2 = (p+1)^2 - 4$$

$$m^2 = \frac{(p+1)^2 - 4}{5}$$

2本の接線が直交するので、 $m_1 m_2 = -1$ となる $m_1, m_2$ が存在します。

$m^2 = \frac{(p+1)^2 - 4}{5}$ より、 $m = \pm \sqrt{\frac{(p+1)^2 - 4}{5}}$ です。

2本の接線の傾きを $m_1, m_2$ とすると、$m_1m_2 = -1$ なので、 $m^2 = -1$ となりますが、これはありえません。

別の解法を考えます。

楕円 $\frac{x^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$ に対して、点(0,p)を通る2本の接線が直交するとき、その交点の軌跡は準円となります。

準円の方程式は $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ であり、楕円の場合、$a^2$ は $x^2$ の係数の逆数、 $b^2$ は $y^2$ の係数の逆数です。

従って準円の方程式は $x^2 + (y+1)^2 = 5 + 4 = 9$

点(0,p)はこの円上にあるので、$0^2 + (p+1)^2 = 9$

$(p+1)^2 = 9$

$p+1 = \pm 3$

$p = -1 \pm 3$

$p = 2$ or $p = -4$

$p>1$ より $p = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$

(2) $y = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}x + 3$

(3) $p = 2$