3点 $A(0, 5)$, $B(-3, 0)$, $C(3, 2)$ を頂点とする三角形 $ABC$ の内部を表す不等式を求める。ただし、境界線を含まないものとする。

1. 問題の内容

3点 $A(0, 5)$, $B(-3, 0)$, $C(3, 2)$ を頂点とする三角形 $ABC$ の内部を表す不等式を求める。ただし、境界線を含まないものとする。

2. 解き方の手順

三角形の内部を表す不等式を求めるには、まず三角形の各辺を表す直線の方程式を求め、その直線によって分けられる領域のうち、三角形の内部に対応する不等式を定める。

(1) 直線 $AB$ の方程式を求める。

傾きは $(5 - 0) / (0 - (-3)) = 5/3$ である。

$y = (5/3)x + 5$

$3y = 5x + 15$

$5x - 3y + 15 = 0$

(2) 直線 $BC$ の方程式を求める。

傾きは $(2 - 0) / (3 - (-3)) = 2/6 = 1/3$ である。

$y = (1/3)(x + 3)$

$3y = x + 3$

$x - 3y + 3 = 0$

(3) 直線 $CA$ の方程式を求める。

傾きは $(5 - 2) / (0 - 3) = 3 / (-3) = -1$ である。

$y = -x + 5$

$x + y - 5 = 0$

次に、各直線によって分けられる領域のうち、三角形の内部に対応する不等式を判定する。点$(1,1)$は三角形の内部にあるので、この点が満たす不等号を調べる。

(1) $AB$: $5x - 3y + 15 > 0$ or $5x - 3y + 15 < 0$.

$x = 1, y = 1$ を代入すると $5(1) - 3(1) + 15 = 5 - 3 + 15 = 17 > 0$.

したがって、$5x - 3y + 15 > 0$

(2) $BC$: $x - 3y + 3 > 0$ or $x - 3y + 3 < 0$.

$x = 1, y = 1$ を代入すると $1 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1 > 0$.

したがって、$x - 3y + 3 > 0$

(3) $CA$: $x + y - 5 > 0$ or $x + y - 5 < 0$.

$x = 1, y = 1$ を代入すると $1 + 1 - 5 = -3 < 0$.

したがって、$x + y - 5 < 0$

3. 最終的な答え

求める不等式は、

$5x - 3y + 15 > 0$

$x - 3y + 3 > 0$

$x + y - 5 < 0$

である。