$n$を正の整数とするとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ が7の倍数であることを、二項定理を用いて示す。

1. 問題の内容

$n$を正の整数とするとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ が7の倍数であることを、二項定理を用いて示す。

2. 解き方の手順

まず、$2^{n+1}$を二項定理を使って展開することを考えます。画像のヒントにあるように、$2^{n+1}=(9-7)^{n+1}$と変形し、二項定理を用います。

$2^{n+1}=(9-7)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {}_{n+1}C_k 9^{n+1-k} (-7)^k$

次に、$3^{2n-1}$を7で割った余りを考えます。

$3^{2n-1} = 3^{2n} \cdot 3^{-1} = (3^2)^n \cdot \frac{1}{3} = 9^n \cdot \frac{1}{3}$.

$2^{n+1}+3^{2n-1}$を7の倍数であることを示したいので、$2^{n+1}+3^{2n-1} = 7M$となる整数$M$を見つけたいです。

$2^{n+1} = (9-7)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {}_{n+1}C_k 9^{n+1-k} (-7)^k$

$= 9^{n+1} + {}_{n+1}C_1 9^n (-7)^1 + {}_{n+1}C_2 9^{n-1} (-7)^2 + \cdots + (-7)^{n+1}$

$= 9^{n+1} - 7{}_{n+1}C_1 9^n + 49{}_{n+1}C_2 9^{n-1} - \cdots + (-7)^{n+1}$

$= 9^{n+1} + 7(\text{integer})$

$2^{n+1} = (2)^{n+1} = 2 \cdot 2^n$.

$3^{2n-1} = \frac{1}{3}(3^{2n}) = \frac{1}{3} (9^n)$.

したがって、$2^{n+1} + 3^{2n-1} = 2 \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot 9^n = 2 \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot 9^n = 2 \cdot 2^n + \frac{1}{3} \cdot (7+2)^n$.

$(7+2)^n$を二項展開すると、$(7+2)^n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k 7^{n-k} 2^k = 7(\text{integer})+2^n$.

よって、$2^{n+1} + 3^{2n-1} = 2 \cdot 2^n + \frac{1}{3} (7(\text{integer})+2^n) = 2 \cdot 2^n + \frac{7}{3}(\text{integer}) + \frac{2^n}{3} = \frac{7}{3}(\text{integer}) + \frac{6 \cdot 2^n+2^n}{3} = \frac{7}{3}(\text{integer}) + \frac{7 \cdot 2^n}{3} = 7(\frac{\text{integer} + 2^n}{3})$.

これで示せるためには、$\frac{\text{integer} + 2^n}{3}$が整数である必要がある。

別の考え方として、数学的帰納法を使う。

$n=1$のとき、$2^{1+1} + 3^{2(1)-1} = 2^2+3^1 = 4+3 = 7$. 7は7の倍数。

$n=k$のとき、$2^{k+1}+3^{2k-1}$が7の倍数であると仮定する。つまり、$2^{k+1}+3^{2k-1} = 7M$ for some integer $M$.

$n=k+1$のとき、$2^{(k+1)+1} + 3^{2(k+1)-1} = 2^{k+2} + 3^{2k+1} = 2 \cdot 2^{k+1} + 9 \cdot 3^{2k-1}$.

$2^{k+1} = 7M-3^{2k-1}$なので、$2 \cdot 2^{k+1} = 2(7M-3^{2k-1}) = 14M-2 \cdot 3^{2k-1}$.

$2^{k+2} + 3^{2k+1} = 14M-2 \cdot 3^{2k-1} + 9 \cdot 3^{2k-1} = 14M + 7 \cdot 3^{2k-1} = 7(2M+3^{2k-1})$.

$2M+3^{2k-1}$は整数であるから、$2^{(k+1)+1} + 3^{2(k+1)-1}$は7の倍数である。

したがって、数学的帰納法により、$2^{n+1}+3^{2n-1}$は7の倍数である。

3. 最終的な答え

$n$を正の整数とするとき、$2^{n+1} + 3^{2n-1}$ は 7 の倍数である。