与えられた等式 $\frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}$ を利用して、和 $\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}$ を求めよ。代数学部分分数分解数列級数2025/6/241. 問題の内容与えられた等式 3(3k−1)(3k+2)=13k−1−13k+2\frac{3}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}(3k−1)(3k+2)3=3k−11−3k+21 を利用して、和 32⋅5+35⋅8+38⋅11+⋯+3(3n−1)(3n+2)\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)}2⋅53+5⋅83+8⋅113+⋯+(3n−1)(3n+2)3 を求めよ。2. 解き方の手順与えられた等式を用いて、各項を分解し、隣り合う項を打ち消し合うように整理する。32⋅5=12−15\frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5}2⋅53=21−5135⋅8=15−18\frac{3}{5 \cdot 8} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8}5⋅83=51−8138⋅11=18−111\frac{3}{8 \cdot 11} = \frac{1}{8} - \frac{1}{11}8⋅113=81−111⋮\vdots⋮3(3n−1)(3n+2)=13n−1−13n+2\frac{3}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}(3n−1)(3n+2)3=3n−11−3n+21したがって、和は32⋅5+35⋅8+38⋅11+⋯+3(3n−1)(3n+2)=(12−15)+(15−18)+(18−111)+⋯+(13n−1−13n+2)\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{3}{(3n-1)(3n+2)} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + \dots + (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2})2⋅53+5⋅83+8⋅113+⋯+(3n−1)(3n+2)3=(21−51)+(51−81)+(81−111)+⋯+(3n−11−3n+21)=12−13n+2= \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2}=21−3n+21=(3n+2)−22(3n+2)=3n2(3n+2)= \frac{(3n+2) - 2}{2(3n+2)} = \frac{3n}{2(3n+2)}=2(3n+2)(3n+2)−2=2(3n+2)3n3. 最終的な答え3n2(3n+2)\frac{3n}{2(3n+2)}2(3n+2)3n
