直角三角形ABCがあり、AB = 4cm, AC = 3cm, ∠ACB = 90°である。AB上にBD = 1cmとなる点Dをとり、点A, Dを通り、辺BCに点Eで接する円Oがある。線分BEの長さを求める過程の空欄を埋め、線分CEの長さと円Oの半径を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB = 4cm, AC = 3cm, ∠ACB = 90°である。AB上にBD = 1cmとなる点Dをとり、点A, Dを通り、辺BCに点Eで接する円Oがある。線分BEの長さを求める過程の空欄を埋め、線分CEの長さと円Oの半径を求める。

2. 解き方の手順

(1)

i. 弧DEに対する円周角は等しいので、∠DAE = ∠DBE。よって、iはウ。

ii. △DEFは、辺EFを斜辺とする直角三角形なので、∠DFE + ∠DEF = 90°。よって、iiは∠DFE。

iii. OE⊥BCであるから、∠DEF + ∠OEC = 90°。

∠DFE + ∠DEF = 90°と∠DEF + ∠OEC = 90°より、∠DFE = ∠OEC。

④, ⑤より、∠BAE = ∠BDE。よって、iiはエ。

④, ⑤より、∠DAE = ∠BDE。

∠ABE = ∠EBD、∠BAE = ∠BDEより、2組の角がそれぞれ等しいから、△ABE ∽ △EBD。

したがって、AB: EB = BE: BD。よって、iiiはカ。

AB: EB = BE: BDより、$4 : BE = BE : 1$。

$BE^2 = 4$

$BE = 2$

よって、ivは2。

(2)

△ABCにおいて、三平方の定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2$。

$4^2 = 3^2 + BC^2$

$16 = 9 + BC^2$

$BC^2 = 7$

$BC = \sqrt{7}$

$CE = BC - BE = \sqrt{7} - 2$

(3)

円Oの中心をOとすると、OE⊥BC。

△OBEにおいて、三平方の定理より、$OB^2 = OE^2 + BE^2$。

円Oの半径をrとすると、$OB = r$, $OE = r$。

$r^2 = r^2 + 2^2$

...

OEはBCに垂直なので、△ADEと△ABCは相似ではない。

ここで△DBEと△ABCが相似であるか検討する。

∠DBE=∠ABCで、$\frac{DB}{AB} = \frac{1}{4}, \frac{BE}{BC} = \frac{2}{\sqrt{7}}$なので相似ではない。

円Oの半径をrとすると、

$OE=r, BE=2, BC=BE+EC=2+EC, EC=\sqrt{7}-2$

$BC=\sqrt{7}$

$OC=\sqrt{7}-r$

$OC^2+CE^2=OE^2$

$(\sqrt{7}-r)^2+(\sqrt{7}-2)^2=r^2$

$7-2\sqrt{7}r+r^2 + 7 - 4\sqrt{7} +4=r^2$

$18-4\sqrt{7}=2\sqrt{7}r$

$r = \frac{9}{\sqrt{7}}-2 = \frac{9\sqrt{7}}{7}-2$

3. 最終的な答え

(1) i(ウ) ii(エ) iii(カ) iv(2)

(2) $(\sqrt{7} - 2)$ cm

(3) $(\frac{9\sqrt{7}}{7} - 2)$ cm