「YOKOHAMA」の8文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。 (1) 異なる並べ方は何通りあるか。 (2) OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか。 (3) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

「YOKOHAMA」の8文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。

(1) 異なる並べ方は何通りあるか。

(2) OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか。

(3) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 異なる並べ方の総数

「YOKOHAMA」の8文字には、Aが2つあります。

異なる並べ方は、同じものを含む順列の公式を使います。

$\frac{8!}{2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20160$

(2) OとAが必ず偶数番目にある並べ方

偶数番目は2, 4, 6, 8番目の4箇所です。O, A, Aの3つを並べるので、まず4箇所から3箇所を選ぶ必要があります。

$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4$

選んだ3箇所にO, A, Aを並べる方法は、Aが2つあるので、

$\frac{3!}{2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 3$

残りの5文字(Y, K, H, M, A)を奇数番目の5箇所に並べる方法は、5!通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

したがって、求める並べ方は、

$_4C_3 \times \frac{3!}{2!} \times 5! = 4 \times 3 \times 120 = 1440$

(3) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方

Y, K, H, Mを□4つに置き換えて考えます。

「YOKOHAMA」は「□□O□A□A□」となります。

全体で8文字を並べる順列を考えます。

Y, K, H, Mがこの順にあるので、8箇所からY, K, H, Mの場所を4箇所選ぶ組み合わせを考えます。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

残りの4文字(O, A, A)を並べます。Aが2つあるので、

$\frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$

したがって、求める並べ方は、

$_8C_4 \times \frac{4!}{2!} = 70 \times 12 = 840$

3. 最終的な答え

(1) 20160通り

(2) 1440通り

(3) 840通り