多項式 $P(x)$ を $x+1$ で割ると余りが $5$ 、$x+4$ で割ると余りが $11$ である。$P(x)$ を $(x+1)(x+4)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x+1$ で割ると余りが $5$ 、$x+4$ で割ると余りが $11$ である。$P(x)$ を $(x+1)(x+4)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x+1)(x+4)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。

このとき、$P(x)$ はある多項式 $Q(x)$ を用いて

$P(x) = (x+1)(x+4)Q(x) + ax + b$

と表せる。

$P(x)$ を $x+1$ で割ったときの余りが $5$ であることから、剰余の定理より、

$P(-1) = 5$

同様に、$P(x)$ を $x+4$ で割ったときの余りが $11$ であることから、剰余の定理より、

$P(-4) = 11$

したがって、

$P(-1) = a(-1) + b = -a + b = 5$

$P(-4) = a(-4) + b = -4a + b = 11$

これら2つの式を連立方程式として解く。

$-a + b = 5$

$-4a + b = 11$

2式を引き算すると、

$3a = -6$

$a = -2$

$-a + b = 5$ に代入すると、

$-(-2) + b = 5$

$2 + b = 5$

$b = 3$

よって、求める余りは $-2x + 3$ である。

3. 最終的な答え

$-2x + 3$