多項式 $P(x)$ が与えられており、$P(x)$ を $x+1$ で割ると余りが 5、$x+4$ で割ると余りが 11 である。$P(x)$ を $(x+1)(x+4)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ が与えられており、$P(x)$ を $x+1$ で割ると余りが 5、$x+4$ で割ると余りが 11 である。$P(x)$ を $(x+1)(x+4)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x+1)(x+4)$ で割ったときの余りは、一般に $ax+b$ の形になる。なぜなら、割る式が2次式なので、余りは1次式以下になるからである。したがって、

$P(x) = (x+1)(x+4)Q(x) + ax + b$

と表せる。ここで、$Q(x)$ は商である。

$P(x)$ を $x+1$ で割ったときの余りが 5 であることから、$P(-1) = 5$ が成り立つ。

$P(x)$ を $x+4$ で割ったときの余りが 11 であることから、$P(-4) = 11$ が成り立つ。

上記の式に $x=-1$ を代入すると、

$P(-1) = (-1+1)(-1+4)Q(-1) + a(-1) + b = -a + b$

したがって、 $-a + b = 5$ が得られる。

同様に、$x=-4$ を代入すると、

$P(-4) = (-4+1)(-4+4)Q(-4) + a(-4) + b = -4a + b$

したがって、 $-4a + b = 11$ が得られる。

上記で得られた連立一次方程式を解く。

$-a + b = 5$

$-4a + b = 11$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$(-4a+b) - (-a+b) = 11-5$

$-3a = 6$

$a = -2$

$-a + b = 5$ に $a = -2$ を代入すると、

$-(-2) + b = 5$

$2 + b = 5$

$b = 3$

したがって、求める余りは $-2x + 3$ となる。

3. 最終的な答え

$-2x + 3$