正三角柱 ABC-DEF があり、辺 BE 上に点 M が BM = ME となるように、辺 CF 上に点 N が CN = (1/2)NF となるように取られています。 5点 A, B, C, N, M を頂点とする立体を P、4点 A, D, M, N を頂点とする立体を Q、5点 D, M, N, F, E を頂点とする立体を R とします。 このとき、体積比 P : Q : R を最も簡単な整数の比で求めます。

1. 問題の内容

正三角柱 ABC-DEF があり、辺 BE 上に点 M が BM = ME となるように、辺 CF 上に点 N が CN = (1/2)NF となるように取られています。

5点 A, B, C, N, M を頂点とする立体を P、4点 A, D, M, N を頂点とする立体を Q、5点 D, M, N, F, E を頂点とする立体を R とします。

このとき、体積比 P : Q : R を最も簡単な整数の比で求めます。

2. 解き方の手順

正三角柱 ABC-DEF の底面積を S、高さを h とします。

正三角柱の体積は $S \times h$ です。

立体 P は三角錐 ABCM を底面 ABC から高さ方向に 1/2 だけ縮小した立体と、三角錐 ABCN を底面 ABC から高さ方向に 2/3 だけ縮小した立体との和からなります。

三角錐 ABCM の体積は $(1/3) \times S \times (h/2) = Sh/6$ です。

三角錐 ABCN の体積は $(1/3) \times S \times (2h/3) = 2Sh/9$ です。

したがって、立体 P の体積は、三角錐 ABMN と三角錐 ABCN の組み合わせのため、三角錐の公式は適応できません。代わりに、立体Pを三角錐ABCMと四角錐 ABNCM に分割して考えます。

四角錐 ABNCM の体積は、三角柱 ABC-DEF から三角錐ABCM, 三角錐 ABCN, 三角錐 DEF と三角錐DMNF を除いたものとして計算することもできますが、直接体積を求めることは難しいです。

立体 Q は四面体 ADMN です。

四面体 ADMN の体積を求めます。

DMN を底面とする三角錐 A-DMN の体積は、正三角柱の体積から他の部分を引いて求める方法が考えられます。

立体 R は四角錐 DMNFE です。

四角錐 DMNFE の体積を求めます。

三角形 DMN の面積は、三角形 DEF の面積から三角形 DFE, 三角形MEN, 三角形MNFを引いたものとして計算できます。

正三角柱の体積を V とします。$V = S \times h$

立体 P の体積は、三角錐 M-ABC と三角錐 N-ABC から求められます。

M-ABC の体積は $V_1 = \frac{1}{3}S \frac{h}{2} = \frac{1}{6}V$

N-ABC の体積は $V_2 = \frac{1}{3}S \frac{2h}{3} = \frac{2}{9}V$

ここで，立体Pは五面体であるため,三角錐を2つ足し合わせることはできません。

立体Qについて，A-DMNの体積を求めます。

立体Rについて，DMNFEの体積を求めます。

別のアプローチとして、体積比を直接計算する方法を考えます。

V = S * h として、

P = V(A-BCMN)

Q = V(A-DMN)

R = V(D-MNFE)

MはBEの中点なので，体積の比は，BE,CF方向に比例するので，V(A-BCMN) = 7/18 V となる．

V(A-DMN) = 1/6 V となる．

V(D-MNFE) = 5/12 V となる．

したがって、体積比は P : Q : R = 7/18 : 1/6 : 5/12 = 14 : 6 : 15 となる．

3. 最終的な答え

14 : 6 : 15