問題25： (1) 中心が点$(-2, 1)$で点$(1, -3)$を通る円の方程式を求めよ。 (2) 中心が点$(3, 4)$で$x$軸に接する円の方程式を求めよ。 問題26： (1) $x^2 + y^2 + 2x = 0$はどのような図形を表すか。 (2) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$はどのような図形を表すか。

1. 問題の内容

問題25：

(1) 中心が点$(-2, 1)$で点$(1, -3)$を通る円の方程式を求めよ。

(2) 中心が点$(3, 4)$で$x$軸に接する円の方程式を求めよ。

問題26：

(1) $x^2 + y^2 + 2x = 0$はどのような図形を表すか。

(2) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$はどのような図形を表すか。

2. 解き方の手順

問題25：

(1) 円の中心が$(-2, 1)$であるから、円の方程式は

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = r^2$

と表せる。この円が点$(1, -3)$を通るので、

$(1 + 2)^2 + (-3 - 1)^2 = r^2$

$3^2 + (-4)^2 = r^2$

$9 + 16 = r^2$

$r^2 = 25$

よって、円の方程式は

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$

(2) 円の中心が$(3, 4)$で$x$軸に接するので、円の半径は4である。

したがって、円の方程式は

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$

問題26：

(1) $x^2 + y^2 + 2x = 0$を変形する。

$x^2 + 2x + y^2 = 0$

$(x + 1)^2 - 1 + y^2 = 0$

$(x + 1)^2 + y^2 = 1$

これは中心$(-1, 0)$、半径1の円である。

(2) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$を変形する。

$x^2 - 6x + y^2 + 10y + 16 = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 5)^2 - 25 + 16 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 18$

これは中心$(3, -5)$、半径$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$の円である。

3. 最終的な答え

問題25：

(1) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$

(2) $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$

問題26：

(1) 中心$(-1, 0)$、半径1の円

(2) 中心$(3, -5)$、半径$3\sqrt{2}$の円