和 $S = \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}(2k-1)$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

和 $S = \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}(2k-1)$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$S$ を展開します。

$S = \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}(2k-1) = \sum_{k=1}^{n} (2k \cdot 2^{k-1} - 2^{k-1})$

$S = \sum_{k=1}^{n} 2k \cdot 2^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

ここで、$S_1 = \sum_{k=1}^{n} 2k \cdot 2^{k-1}$ と $S_2 = \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ とおきます。

$S_2$ は等比数列の和なので簡単に計算できます。

$S_2 = \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

次に、$S_1$ を計算します。

$S_1 = \sum_{k=1}^{n} 2k \cdot 2^{k-1} = 2 \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1}$

ここで、$T = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1}$ とおきます。

$T = 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

$2T = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^n$

$T - 2T = 1 \cdot 2^0 + (2-1)2^1 + (3-2)2^2 + \dots + (n-(n-1))2^{n-1} - n \cdot 2^n$

$-T = 1 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

$-T = \frac{1(2^n-1)}{2-1} - n \cdot 2^n = 2^n - 1 - n \cdot 2^n$

$T = n \cdot 2^n - 2^n + 1 = (n-1)2^n + 1$

したがって、$S_1 = 2T = 2( (n-1)2^n + 1 ) = (n-1)2^{n+1} + 2$

よって、$S = S_1 - S_2 = (n-1)2^{n+1} + 2 - (2^n - 1) = (n-1)2^{n+1} - 2^n + 3 = 2n \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n - 2^n + 3 = n \cdot 2^{n+1} - 3 \cdot 2^n + 3 = (n-3/2) 2^{n+1} + 3$.

$S = n \cdot 2^{n+1} - 3 \cdot 2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S = n \cdot 2^{n+1} - 3 \cdot 2^n + 3$