与えられた2次関数を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形する問題です。具体的には、以下の6つの関数について平方完成を行います。 (1) $y = x^2 + 4x + 5$ (2) $y = 3x^2 - 6x + 1$ (3) $y = -x^2 + 6x + 1$ (4) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + 3$ (5) $y = x^2 + 3x + 4$ (6) $y = -2x^2 + 4x - 3$

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形する問題です。具体的には、以下の6つの関数について平方完成を行います。

(1) $y = x^2 + 4x + 5$

(2) $y = 3x^2 - 6x + 1$

(3) $y = -x^2 + 6x + 1$

(4) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + 3$

(5) $y = x^2 + 3x + 4$

(6) $y = -2x^2 + 4x - 3$

2. 解き方の手順

平方完成は、与えられた2次式を$(x + a)^2$または$(x - a)^2$の形に変形することによって行います。

(1) $y = x^2 + 4x + 5$

$y = (x^2 + 4x) + 5$

$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 5$

$y = (x + 2)^2 + 1$

(2) $y = 3x^2 - 6x + 1$

$y = 3(x^2 - 2x) + 1$

$y = 3(x^2 - 2x + 1) - 3 + 1$

$y = 3(x - 1)^2 - 2$

(3) $y = -x^2 + 6x + 1$

$y = -(x^2 - 6x) + 1$

$y = -(x^2 - 6x + 9) + 9 + 1$

$y = -(x - 3)^2 + 10$

(4) $y = \frac{1}{2}x^2 + x + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) - \frac{1}{2} + 3$

$y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{5}{2}$

(5) $y = x^2 + 3x + 4$

$y = (x^2 + 3x) + 4$

$y = (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 4$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

(6) $y = -2x^2 + 4x - 3$

$y = -2(x^2 - 2x) - 3$

$y = -2(x^2 - 2x + 1) + 2 - 3$

$y = -2(x - 1)^2 - 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x + 2)^2 + 1$

(2) $y = 3(x - 1)^2 - 2$

(3) $y = -(x - 3)^2 + 10$

(4) $y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{5}{2}$

(5) $y = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

(6) $y = -2(x - 1)^2 - 1$