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与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く。 まず、拡大係数行列 $M$ に初等行列 $E$ を左から掛けて得られる行列 $EM$ の一部を求め、次に $M$ に行基本変形を繰り返して得られる行既約階段行列 $N$ の一部を求め、最後に $N$ から $z$ を任意の実数 $\alpha$ としたときの解を求める。

代数学線形代数連立一次方程式掃き出し法行基本変形拡大係数行列
2025/6/24

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く。
まず、拡大係数行列 MM に初等行列 EE を左から掛けて得られる行列 EMEM の一部を求め、次に MM に行基本変形を繰り返して得られる行既約階段行列 NN の一部を求め、最後に NN から zz を任意の実数 α\alpha としたときの解を求める。

2. 解き方の手順

(1) EMEM の計算
連立一次方程式
x+5y−4z=−7x + 5y - 4z = -7 ...(1)
2x+4y−3z=−22x + 4y - 3z = -2 ...(2)
x−7y+6z=17x - 7y + 6z = 17 ...(3)
の拡大係数行列 MM は
M=(15−4−724−3−21−7617)M = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & -7 \\ 2 & 4 & -3 & -2 \\ 1 & -7 & 6 & 17 \end{pmatrix}
である。
E=(100−210001)E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} を左から掛けるということは、 MM の2行目を「2行目 - 2*1行目」に置き換える操作に対応する。つまり、
EM=(15−4−72−2∗14−2∗5−3−2∗(−4)−2−2∗(−7)1−7617)=(15−4−70−65121−7617)EM = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & -7 \\ 2 - 2*1 & 4 - 2*5 & -3 - 2*(-4) & -2 - 2*(-7) \\ 1 & -7 & 6 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & -7 \\ 0 & -6 & 5 & 12 \\ 1 & -7 & 6 & 17 \end{pmatrix}
したがって、(ア) = -6, (イ) = 5, (ウ) = 12
(2) 行既約階段行列 NN の計算
行列 MM を行基本変形していく。まず1行目を基準に2,3行目の1列目を0にする。
M=(15−4−724−3−21−7617)→R2→R2−2R1,R3→R3−R1(15−4−70−65120−121024)M = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & -7 \\ 2 & 4 & -3 & -2 \\ 1 & -7 & 6 & 17 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \to R_2 - 2R_1, R_3 \to R_3 - R_1} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & -7 \\ 0 & -6 & 5 & 12 \\ 0 & -12 & 10 & 24 \end{pmatrix}
次に、2行目を基準に3行目の2列目を0にする。
(15−4−70−65120−121024)→R3→R3−2R2(15−4−70−65120000)\begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & -7 \\ 0 & -6 & 5 & 12 \\ 0 & -12 & 10 & 24 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & -7 \\ 0 & -6 & 5 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
次に、2行目を -6 で割る。
(15−4−70−65120000)→R2→−16R2(15−4−701−56−20000)\begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & -7 \\ 0 & -6 & 5 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \to -\frac{1}{6} R_2} \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & -7 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{6} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
最後に、2行目を基準に1行目の2列目を0にする。
(15−4−701−56−20000)→R1→R1−5R2(10−4+256−7+1001−56−20000)=(1016301−56−20000)\begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 & -7 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{6} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \to R_1 - 5R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 + \frac{25}{6} & -7 + 10 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{6} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{6} & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{6} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
したがって、(エ) = 1/6, (オ) = 3, (カ) = -5/6, (キ) = -2
(3) 解の導出
行既約階段行列 NN は
N=(1016301−56−20000)N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{6} & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{6} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
である。これに対応する方程式は
x+16z=3x + \frac{1}{6} z = 3
y−56z=−2y - \frac{5}{6} z = -2
z=αz = \alpha とすると、
x=3−16αx = 3 - \frac{1}{6} \alpha
y=−2+56αy = -2 + \frac{5}{6} \alpha
したがって、解は (x,y,z)=(3−16α,−2+56α,α)(x, y, z) = (3 - \frac{1}{6} \alpha, -2 + \frac{5}{6} \alpha, \alpha)

3. 最終的な答え

(ア) = -6, (イ) = 5, (ウ) = 12
(エ) = 1/6, (オ) = 3, (カ) = -5/6, (キ) = -2
解: (x,y,z)=(3−16α,−2+56α,α)(x, y, z) = (3 - \frac{1}{6} \alpha, -2 + \frac{5}{6} \alpha, \alpha)

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