$a > 1$のとき、定義域が $1 \le x \le a$ である関数 $y = x^2 - 4x + 7$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a > 1$のとき、定義域が $1 \le x \le a$ である関数 $y = x^2 - 4x + 7$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$

この関数の軸は $x = 2$ です。定義域 $1 \le x \le a$ と軸の位置関係によって最小値が変わります。

(1) $1 < a < 3$ のとき：

定義域 $1 \le x \le a$ の範囲に軸 $x = 2$ が含まれているので、$x = 2$ で最小値をとります。最小値は $y = (2 - 2)^2 + 3 = 3$ です。

(2) $a \ge 3$ のとき：

定義域 $1 \le x \le a$ の範囲に軸 $x = 2$ が含まれているので、$x = 2$ で最小値をとります。最小値は $y = (2 - 2)^2 + 3 = 3$ です。

しかし、問題文の選択肢から、$1 < a < ア$ と $ア \le a$ の場合分けを考えると、軸が定義域の中央値より右にある場合を考えなければいけません。

もし軸$x = 2$が定義域の右端$x=a$よりも右側、つまり$a < 2$であった場合を考えます。しかしこれは$a > 1$という前提に反します。

次に、軸$x=2$が定義域$1 \le x \le a$の中央値よりも左側にある場合を考えます。これは、

$1 \le 2 \le a$

という状況に相当します。

$1 < a < 3$の時、$x = 2$で最小値3を取ります。

$3 \le a$の時、$x=2$で最小値3を取ります。

ただし選択肢に3はないので、最小値を取る$x$の値を範囲の端で考えます。

$1 < a < 3$ のとき、軸$x=2$が定義域に含まれるので$x = 2$で最小値$3$を取ります。

$3 \le a$のとき、軸$x=2$が定義域に含まれるので$x=2$で最小値$3$を取ります。

ですが、選択肢には3がないので、定義域の端で考えます。

$1 \le x \le a$なので、$x = 1$または$x = a$で最小値を取りえます。

$x = 1$のとき $y = 1^2 - 4(1) + 7 = 1 - 4 + 7 = 4$

$x = a$のとき $y = a^2 - 4a + 7$

軸$x=2$から遠いほど$y$の値は大きいので、$1 < a < 3$の時、$x=a$が軸から遠いので$x=a$で$y=a^2 - 4a + 7$

$3 \le a$の時、軸$x=2$が定義域に含まれるので、$x=2$で最小値$y=3$を取ります。

$1 < a < 3$のとき、$x=a$で、$y=a^2-4a+7$

$3 \le a$のとき、$x=2$で、$y=3$

選択肢から、アは3、イはa、ウは$a^2-4a+7$、エは2、オは3

3. 最終的な答え

ア：3

イ：a

ウ：$a^2-4a+7$

エ：2

オ：3