(1) 正の実数 $a, b$ について、$a - b = \sqrt{2}, ab = 1$ が成り立つとき、$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ の値を求める問題。ただし、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})/(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \sqrt{\text{ア}} + \sqrt{\text{イ}}$ であり、$ \text{ア} > \text{イ} $ とする。 (2) $a$ を正の実数とする。$x$ の方程式 $2|x^2 - a^2| - x - 1 = 0$ が異なる4つの実数解をもつとき、$a$ の取り得る値の範囲を $\sqrt{\frac{\text{ウ}}{\text{エ}}} < a < \text{オ}$ の形で求める問題。 (3) $(\frac{1}{7})^{50}$ を小数で表すとき、初めて現れる 0 でない数字は小数第何位の何であるかを求める問題。必要なら、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$, $\log_{10}7 = 0.8451$ としてよい。

1. 問題の内容

(1) 正の実数 $a, b$ について、$a - b = \sqrt{2}, ab = 1$ が成り立つとき、$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ の値を求める問題。ただし、$(\sqrt{a} + \sqrt{b})/(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \sqrt{\text{ア}} + \sqrt{\text{イ}}$ であり、$\text{ア} > \text{イ}$ とする。

(2) $a$ を正の実数とする。$x$ の方程式 $2|x^2 - a^2| - x - 1 = 0$ が異なる4つの実数解をもつとき、$a$ の取り得る値の範囲を $\sqrt{\frac{\text{ウ}}{\text{エ}}} < a < \text{オ}$ の形で求める問題。

(3) $(\frac{1}{7})^{50}$ を小数で表すとき、初めて現れる 0 でない数字は小数第何位の何であるかを求める問題。必要なら、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$, $\log_{10}7 = 0.8451$ としてよい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a-b = \sqrt{2}$ と $ab = 1$ から $a$ と $b$ を求める。

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab = 2 + 4(1) = 6$

$a+b = \sqrt{6}$ ($a, b$ は正の実数より $a+b>0$)

$a - b = \sqrt{2}$ と $a + b = \sqrt{6}$ の連立方程式を解くと、

$2a = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{a - b} = \frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{a - b} = \frac{\sqrt{6} + 2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

したがって、$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ より、$\text{ア} = 3, \text{イ} = 2$

(2)

$2|x^2 - a^2| - x - 1 = 0$

(i) $x^2 \geq a^2$ のとき、$2(x^2 - a^2) - x - 1 = 0$

$2x^2 - x - (2a^2 + 1) = 0$

解の公式より、 $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8(2a^2+1)}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{16a^2 + 9}}{4}$

$x^2 \geq a^2$ より $x \geq a$ または $x \leq -a$ なので、$\frac{1 + \sqrt{16a^2 + 9}}{4} \geq a$ かつ $\frac{1 - \sqrt{16a^2 + 9}}{4} \leq -a$

(ii) $x^2 < a^2$ のとき、$2(-x^2 + a^2) - x - 1 = 0$

$-2x^2 - x + (2a^2 - 1) = 0$

$2x^2 + x - (2a^2 - 1) = 0$

解の公式より、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8(2a^2-1)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{16a^2 - 7}}{4}$

$x^2 < a^2$ より $-a < x < a$ なので、 $-a < \frac{-1 + \sqrt{16a^2 - 7}}{4} < a$ かつ $-a < \frac{-1 - \sqrt{16a^2 - 7}}{4} < a$

4つの異なる実数解をもつためには、$16a^2 - 7 > 0$ と $16a^2 + 9 > 0$ が必要。

$a^2 > \frac{7}{16}$ より $a > \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\frac{1 + \sqrt{16a^2 + 9}}{4} > 0$

$\frac{1 - \sqrt{16a^2 + 9}}{4} < 0$

$-a < \frac{-1 + \sqrt{16a^2 - 7}}{4} < a$ かつ $-a < \frac{-1 - \sqrt{16a^2 - 7}}{4} < a$を解く。

$-4a < -1 + \sqrt{16a^2 - 7} < 4a$

$1 - 4a < \sqrt{16a^2 - 7} < 4a + 1$

$16a^2 - 8a + 1 < 16a^2 - 7 < 16a^2 + 8a + 1$

$-8a + 1 < -7$ かつ $-7 < 8a + 1$

$8 < 8a$ かつ $-8 < 8a$

$a > 1$ かつ $a > -1$

$a > 1$

$a < \frac{9}{4}$ かつ $a > 1$

$\sqrt{\frac{7}{16}} < a < \frac{9}{4} = 2.25$

$\frac{9}{4} \geq a$ と $a>1$を満たす場合、$a > 1$のとき異なる4つの実数解を持つ。

$1 < a < 3$

$1 < a < 3$

$a>\frac{\sqrt{7}}{4}$より、$1 < a < 3$

したがって、$\sqrt{\frac{7}{16}} < a < 3$ より、$\frac{\sqrt{7}}{4} < a < 3$

$\text{ウ} = 7, \text{エ} = 16, \text{オ} = 3$

(3)

$(\frac{1}{7})^{50} = 7^{-50}$

$\log_{10}(7^{-50}) = -50 \log_{10}7 = -50(0.8451) = -42.255$

$-42.255 = -43 + 0.745$

したがって、$7^{-50} = 10^{-43} \times 10^{0.745}$

$10^{0.301} = 2$

$10^{0.4771} = 3$

$\log_{10}5 = \log_{10} \frac{10}{2} = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$10^{0.6990} = 5$

$10^{0.8451} = 7$

$10^{0.745} \approx 5.5$ くらい

$\text{カ} = 43, \text{キ} = \text{位}, \text{ク} = 5$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

ア = 3, イ = 2

(2) $\sqrt{\frac{7}{16}} < a < 3$

ウ = 7, エ = 16, オ = 3

(3) 小数第 43 位の 5

カ = 43, ク = 5