三角形PABにおいて、$\angle APB$の角度を求め、正弦定理を用いて$\frac{AB}{\sin \angle APB} = \frac{AP}{\sin \angle ABP}$の関係式を完成させる。さらに三角形PAHからPHの長さをAPと$\angle PAH$を用いて表し、最終的にPHの長さを計算する。

1. 問題の内容

三角形PABにおいて、$\angle APB$の角度を求め、正弦定理を用いて$\frac{AB}{\sin \angle APB} = \frac{AP}{\sin \angle ABP}$の関係式を完成させる。さらに三角形PAHからPHの長さをAPと$\angle PAH$を用いて表し、最終的にPHの長さを計算する。

2. 解き方の手順

まず、三角形PABの内角の和は180°であるから、$\angle APB = 180^\circ - \angle PAB - \angle ABP$ を計算する。$\angle PAB = 75^\circ$ 、$\angle ABP = 45^\circ$なので、

$\angle APB = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$

次に、正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \angle APB} = \frac{AP}{\sin \angle ABP}$が成り立つ。

$AB = 10$、$\angle APB = 60^\circ$、$\angle ABP = 45^\circ$であるから、

$\frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{AP}{\sin 45^\circ}$

また、三角形PAHにおいて、$\angle AHP = 90^\circ$なので、

$\sin \angle PAH = \frac{PH}{AP}$

$PH = AP \sin \angle PAH$

$\angle PAH = 60^\circ$ なので、

$PH = AP \sin 60^\circ$

$\frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{AP}{\sin 45^\circ}$ より、

$AP = \frac{10 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3}$

$PH = AP \sin 60^\circ = \frac{10\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{18}}{6} = \frac{10 \cdot 3\sqrt{2}}{6} = \frac{30\sqrt{2}}{6} = 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\angle APB = 60^\circ$

$\frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{AP}{\sin 45^\circ}$

$PH = AP \sin 60^\circ$

$PH = 5\sqrt{2}$