与えられた複素数の式 $\frac{2}{1+3i}$ を計算し、簡約化された形で答えを求める問題です。

代数学複素数複素数の計算有理化

2025/6/24

1. 問題の内容

与えられた複素数の式

\frac{2}{1+3i}

を計算し、簡約化された形で答えを求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数の分数の分母を有理化するために、分母の共役複素数を分子と分母の両方に掛けます。分母

1+3i

の共役複素数は

1-3i

です。

\frac{2}{1+3i} = \frac{2(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}

分母を展開します。

(1+3i)(1-3i) = 1^2 - (3i)^2 = 1 - 9i^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10

分子を展開します。

2(1-3i) = 2 - 6i

したがって、元の式は次のようになります。

\frac{2-6i}{10} = \frac{2}{10} - \frac{6}{10}i = \frac{1}{5} - \frac{3}{5}i

3. 最終的な答え

\frac{1}{5} - \frac{3}{5}i

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