PからQまで行く最短経路について、以下の4つの場合の数を求める問題です。 (1) 総数 (2) Rを通る経路 (3) RとSをともに通る経路 (4) ×印の箇所を通らない経路

1. 問題の内容

PからQまで行く最短経路について、以下の4つの場合の数を求める問題です。

(1) 総数

(2) Rを通る経路

(3) RとSをともに通る経路

(4) ×印の箇所を通らない経路

2. 解き方の手順

(1) 総数

PからQまでの最短経路の総数は、右に5回、下に6回移動する必要があるので、合計11回の移動のうち、どちらをどの順番で行うかという組み合わせの問題になります。

したがって、総数は $_{11}C_5$ または $_{11}C_6$ で計算できます。

$_{11}C_5 = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

(2) Rを通る経路

PからRまでの経路数とRからQまでの経路数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

PからRまでは右に2回、下に2回移動する必要があるので、経路数は $_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

RからQまでは右に3回、下に4回移動する必要があるので、経路数は $_{7}C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

したがって、Rを通る経路数は $6 \times 35 = 210$

(3) R, Sをともに通る経路

PからRまでの経路数、RからSまでの経路数、SからQまでの経路数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

PからRまでの経路数は (2) で求めたように 6 です。

RからSまでは右に1回、下に1回移動する必要があるので、経路数は $_{2}C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$

SからQまでは右に2回、下に3回移動する必要があるので、経路数は $_{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、R, Sをともに通る経路数は $6 \times 2 \times 10 = 120$

(4) ×印の箇所を通らない経路

まず、×印の箇所を通る経路数を求めます。

Pから×印の箇所までは右に2回、下に3回移動する必要があるので、経路数は $_{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

×印の箇所からQまでは右に3回、下に3回移動する必要があるので、経路数は $_{6}C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、×印の箇所を通る経路数は $10 \times 20 = 200$

総経路数は462なので、×印の箇所を通らない経路数は $462 - 200 = 262$

3. 最終的な答え

(1) 462通り

(2) 210通り

(3) 120通り

(4) 262通り