2点 $F(3,0)$、$F'(-3,0)$ からの距離の差が 4 である双曲線の方程式を求める。標準形 $\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B} = 1$ の $A$ と $B$ に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

1. 問題の内容

2点 $F(3,0)$、$F'(-3,0)$ からの距離の差が 4 である双曲線の方程式を求める。標準形 $\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B} = 1$ の $A$ と $B$ に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

2. 解き方の手順

双曲線の定義より、2つの焦点からの距離の差が一定である点の軌跡が双曲線である。

焦点が $F(3,0)$, $F'(-3,0)$ であることから、中心は原点 $(0,0)$ である。

また、2つの焦点間の距離は $2c = 3 - (-3) = 6$ より、$c = 3$ である。

距離の差が 4 であることから、$2a = 4$ より、$a = 2$ である。

双曲線の方程式は、$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ となる。

$c^2 = a^2 + b^2$ の関係があるので、$b^2 = c^2 - a^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$ となる。

したがって、求める双曲線の方程式は $\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{5} = 1$、つまり $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ である。

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 5