2点 $F(0, 5)$ と $F'(0, -5)$ からの距離の差が $6$ である双曲線の方程式を求めます。双曲線の方程式は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ の形で与えられています。

1. 問題の内容

2点 $F(0, 5)$ と $F'(0, -5)$ からの距離の差が $6$ である双曲線の方程式を求めます。双曲線の方程式は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ の形で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた焦点から、この双曲線が $y$ 軸を主軸とする双曲線であることが分かります。

焦点が $(0, \pm c)$ で与えられているので、$c = 5$ です。

また、距離の差が $2b$ であるので、$2b = 6$ となり、$b = 3$ です。

双曲線において、$c^2 = a^2 + b^2$ の関係が成り立ちます。

したがって、$5^2 = a^2 + 3^2$ となります。

これから、$a^2$ を求めます。

$a^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

したがって、$a = 4$ です。

双曲線の方程式は $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ であるから、$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$ となります。

求めたい式は$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ なので、

$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = -1$

となります。

3. 最終的な答え

$a^2 = 16$ , $b^2 = 9$

したがって、双曲線の方程式は $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = -1$ となります。