楕円 $2x^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = 2x + k$ が接するように、$k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

楕円 $2x^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = 2x + k$ が接するように、$k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

楕円と直線が接するということは、連立方程式を解いたとき、解が1つになる（重解を持つ）ということです。

まず、直線の式を楕円の式に代入します。

$2x^2 + (2x + k)^2 = 8$

これを展開して整理します。

$2x^2 + 4x^2 + 4kx + k^2 = 8$

$6x^2 + 4kx + k^2 - 8 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $0$ になることです。

$D = (4k)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (k^2 - 8) = 0$

$16k^2 - 24(k^2 - 8) = 0$

$16k^2 - 24k^2 + 192 = 0$

$-8k^2 + 192 = 0$

$8k^2 = 192$

$k^2 = 24$

$k = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$k = \pm 2\sqrt{6}$

ア = 2

イ = 6