双曲線 $3x^2 - y^2 = 6$ と直線 $y = 2x + k$ が接するように、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

双曲線 $3x^2 - y^2 = 6$ と直線 $y = 2x + k$ が接するように、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

双曲線と直線が接するということは、連立方程式を解いたときに解が1つになる（重解を持つ）ということである。

まず、直線の式を双曲線の式に代入する。

$3x^2 - (2x+k)^2 = 6$

$3x^2 - (4x^2 + 4kx + k^2) = 6$

$3x^2 - 4x^2 - 4kx - k^2 = 6$

$-x^2 - 4kx - k^2 - 6 = 0$

$x^2 + 4kx + k^2 + 6 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D = (4k)^2 - 4(k^2 + 6) = 0$

$16k^2 - 4k^2 - 24 = 0$

$12k^2 = 24$

$k^2 = 2$

$k = \pm \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$k = \pm \sqrt{2}$