2次方程式 $3x^2 - 12x + 6 = 0$ の解が $x = 2 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$3x^2 - 12x + 6$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 12x + 6 = 0$ の解が $x = 2 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$3x^2 - 12x + 6$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式の解が与えられているので、因数分解の形を推定します。

$x = 2 + \sqrt{2}$ と $x = 2 - \sqrt{2}$ が解であることから、因数は $(x - (2 + \sqrt{2}))$ と $(x - (2 - \sqrt{2}))$ であると考えられます。したがって、$3x^2 - 12x + 6$ は、定数倍を除いて $(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2}))$ と書けるはずです。

まず、この2つの因数の積を計算します。

\begin{align*} (x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2})) &= (x - 2 - \sqrt{2})(x - 2 + \sqrt{2}) \\ &= ((x - 2) - \sqrt{2})((x - 2) + \sqrt{2}) \\ &= (x - 2)^2 - (\sqrt{2})^2 \\ &= x^2 - 4x + 4 - 2 \\ &= x^2 - 4x + 2 \end{align*}

$3x^2 - 12x + 6$ を因数分解した結果は $a(x^2 - 4x + 2)$ という形になると考えられます。ここで、$a$ は定数です。$x^2$ の係数を比較すると、$a = 3$ となります。

したがって、

$$3x^2 - 12x + 6 = 3(x^2 - 4x + 2) = 3(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2}))$$

3. 最終的な答え

$3(x - 2 - \sqrt{2})(x - 2 + \sqrt{2})$

または

$3(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2}))$

または

$3(x^2 - 4x + 2)$