二次方程式 $2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$2x^2 + 12x + 14$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$2x^2 + 12x + 14$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

二次方程式の解が $\alpha$ と $\beta$ であるとき、二次式は $a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。ここで、$a$ は $x^2$ の係数です。

この問題では、$2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 + \sqrt{2}$ と $x = -3 - \sqrt{2}$ です。また、$x^2$ の係数は 2 です。

したがって、

$2x^2 + 12x + 14 = 2[x - (-3 + \sqrt{2})][x - (-3 - \sqrt{2})]$

$= 2(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})$

$= 2[(x + 3) - \sqrt{2}][(x + 3) + \sqrt{2}]$

$= 2[(x + 3)^2 - (\sqrt{2})^2]$

$= 2[(x^2 + 6x + 9) - 2]$

$= 2(x^2 + 6x + 7)$

しかし、$2x^2 + 12x + 14$ の因数分解なので、$x^2+6x+7$をさらに因数分解する必要はありません。

したがって、$2(x^2 + 6x + 7)$が因数分解の結果になります。

または、因数分解の形を $2(x+3-\sqrt{2})(x+3+\sqrt{2})$ と答えても正解です。

3. 最終的な答え

$2(x+3-\sqrt{2})(x+3+\sqrt{2})$

または

$2(x^2 + 6x + 7)$