2直線 $x + 2y - 3 = 0$ と $4x - 3y + 10 = 0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式を求める問題です。 (1) 直線 $3x - 2y = 0$ に平行 (2) 直線 $3x - 2y = 0$ に垂直

1. 問題の内容

2直線 $x + 2y - 3 = 0$ と $4x - 3y + 10 = 0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式を求める問題です。

(1) 直線 $3x - 2y = 0$ に平行

(2) 直線 $3x - 2y = 0$ に垂直

2. 解き方の手順

まず、2直線 $x + 2y - 3 = 0$ と $4x - 3y + 10 = 0$ の交点を求めます。

$x + 2y - 3 = 0$ --- (1)

$4x - 3y + 10 = 0$ --- (2)

(1)式を4倍すると

$4x + 8y - 12 = 0$ --- (3)

(3)式から(2)式を引くと

$11y - 22 = 0$

$y = 2$

(1)式に代入して

$x + 2(2) - 3 = 0$

$x + 4 - 3 = 0$

$x = -1$

よって、交点の座標は $(-1, 2)$ です。

次に、それぞれの条件を満たす直線の方程式を求めます。

(1) 直線 $3x - 2y = 0$ に平行な直線

$3x - 2y = 0$ の傾きは $3/2$ なので、求める直線も傾きが $3/2$ です。

よって、求める直線の方程式は $y = \frac{3}{2}x + b$ と表せます。

この直線が $(-1, 2)$ を通るので、

$2 = \frac{3}{2}(-1) + b$

$2 = -\frac{3}{2} + b$

$b = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

したがって、求める直線の方程式は $y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$ であり、変形すると、$2y = 3x + 7$、つまり $3x - 2y + 7 = 0$

(2) 直線 $3x - 2y = 0$ に垂直な直線

$3x - 2y = 0$ の傾きは $3/2$ なので、垂直な直線の傾きは $-2/3$ です。

よって、求める直線の方程式は $y = -\frac{2}{3}x + c$ と表せます。

この直線が $(-1, 2)$ を通るので、

$2 = -\frac{2}{3}(-1) + c$

$2 = \frac{2}{3} + c$

$c = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

したがって、求める直線の方程式は $y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$ であり、変形すると、$3y = -2x + 4$、つまり $2x + 3y - 4 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $3x - 2y + 7 = 0$

(2) $2x + 3y - 4 = 0$