1辺の長さが3cmのひし形ABCDにおいて、対角線BDの長さが4cmであるとき、対角線ACの長さを求める。

## 問題の解答

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1. 問題の内容

1辺の長さが3cmのひし形ABCDにおいて、対角線BDの長さが4cmであるとき、対角線ACの長さを求める。

2. 解き方の手順

ひし形の対角線は互いに垂直に二等分するので、対角線の交点をOとすると、三角形ABOは直角三角形である。

BOの長さはBDの半分なので、BO = 2cm。

ABの長さは3cmなので、三平方の定理より、

$AO^2 + BO^2 = AB^2$

$AO^2 + 2^2 = 3^2$

$AO^2 = 9 - 4 = 5$

$AO = \sqrt{5}$

ACの長さはAOの2倍なので、 $AC = 2\sqrt{5}$ cmとなる。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{5}$ cm

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1. 問題の内容

1辺の長さが8cmである正六角形の面積を求める。

2. 解き方の手順

正六角形は、正三角形6個に分割できる。1つの正三角形の面積を求めて、それを6倍すれば良い。

1辺が8cmの正三角形の面積は、$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ で計算できる。ここで $a = 8$ cmである。

したがって、$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3}$

正六角形の面積は、$6S = 6 \times 16\sqrt{3} = 96\sqrt{3}$ cm$^2$となる。

3. 最終的な答え

$96\sqrt{3}$ cm$^2$

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1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AB = 6cm, 辺BC = 10cm, 角B = 60°のとき、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

三角形の面積は、$S = \frac{1}{2}ab\sin{C}$で求められる。

今回は、辺AB = 6cm, 辺BC = 10cm, 角B = 60°なので、

$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \times 60 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ cm$^2$となる。

3. 最終的な答え

$15\sqrt{3}$ cm$^2$

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1. 問題の内容

∠C=90°の直角三角形ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。BD=2cm, DC=1cmのとき、辺ACの長さを求める。

2. 解き方の手順

角の二等分線の定理より、$AB:AC = BD:DC$ が成り立つ。

$AB:AC = 2:1$ なので、$AB = 2AC$

三角形ABCは直角三角形なので、三平方の定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2$ が成り立つ。

$BC = BD + DC = 2 + 1 = 3$ なので、$AB^2 = AC^2 + 3^2$

$AB = 2AC$ を代入して、$(2AC)^2 = AC^2 + 9$

$4AC^2 = AC^2 + 9$

$3AC^2 = 9$

$AC^2 = 3$

$AC = \sqrt{3}$ cmとなる。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$ cm